高考数学　非线性回归模型与回归效果分析专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

高考数学

非线性回归模型与回归效果分析

研题型素养养成

举题说法

非线性经验回归方程

视角1对数型经验回归方程

例1-1(2024·温州二模)某淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x(单位：万元)与年收益y(单位：万元)的8组数据：

x

10

20

30

40

50

60

70

80

y

12.8

16.5

19

20.9

21.5

21.9

23

25.4

(1)用y＝blnx＋a模拟生产食品淀粉年收益y与年投入资金x的关系，求经验回归方程；

(2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的10%，2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．(精确到0.1万元)

附：

eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))yi

eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))lnxi

eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)

eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(lnxi)2

eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))yilnxi

161

29

20400

109

603

ln2≈0.7，ln5≈1.6.

视角2指数型经验回归方程

例1-2云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：

年份

2017年

2018年

2019年

2020年

2021年

年份代码x

1

2

3

4

5

云计算市场规模y

/亿元

692

962

1334

2091

3229

经计算得，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))lnyi≈36.33，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(xilnyi)≈112.85.根据以上数据，建立y关于x的回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eeq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))(e为自然对数的底数)．

求非线性经验回归方程的常见转化类型：

(1)对数函数型y＝blnx＋a的处理方法：设x′＝lnx，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.

(2)反比例函数y＝a＋eq\f(b,x)可作变换t＝eq\f(1,x)，得y＝a＋bt.

(3)幂函数型y＝axb(a＞0)可作变换Y＝lny，m＝lna，t＝lnx，则有Y＝m＋bt.

(4)指数函数型y＝kabx(a＞0且a≠1，k＞0)可作变换Y＝lny，m＝lnk，则有Y＝m＋(blna)x.

回归效果分析

视角1残差分析

例2-1假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．统计数据如下：

x

2

3

4

3

4

5

y

73

72

71

73

69

68

(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；

(2)求y与x之间的经验回归方程，当单位成本为70元/件时，预报产量为多少？

(3)计算各组残差，并计算残差平方和．

注：保留两位小数．

视角2决定系数

例2-2如图是某企业2018年至2024年的污水净化量(单位：吨)的折线图．

(例2-2)

注：年份代码1～7分别对应年份2018～2024.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的回归方程，并预测2027年该企业的污水净化量；

(2)请用决定系数说明回归方程预报的效果．

参考数据：eq\x\to(y)＝54，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝21，eq\r(14)≈3.74，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝eq\f(9,4).

刻画回归效果的三种方法

(1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．

(2)残差平方和法：残差平方和eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的拟合效果越好．

(3)决定系数法：R2越接近1，表明拟合效果越好．

随堂内化

1.下列四幅残差分析与一元线性回归模型拟合精度最高的是()

A B

C D

2.经验表明，树高