高考数学　等差数列及其前n项和专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

等差数列及其前n项和

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激活思维

1.(2024·全国甲卷理)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝S10，a5＝1，则a1＝()

A.－2 B.eq\f(7,3)

C.1 D.2

2.已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝120，则a37＋b37＝()

A.760 B.820

C.780 D.860

3.(人A选必二P15练习T5改编)在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则这个等差数列的公差是______________．

4.(人A选必二P18练习T3)在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且n≠m，则am＋n＝____________．

5.(人A选必二P23练习T4)在等差数列{an}中，若S15＝5(a2＋a6＋ak)，则k＝______________．

聚焦知识

1.等差数列的有关公式

(1)通项公式：______________，其推导方法是累加法．

(2)前n项和公式：____________＝____________，其推导方法是倒序相加法．

2.等差数列的常见性质

(1)已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．

①通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；

②若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则_____________；

③ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为_____________的等差数列；

④若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列；

⑤数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列；

⑥数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))成等差数列．

(2)等差数列奇数项和与偶数项和的性质

①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；

②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).

(3)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(an,bn).

(4)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．

研题型素养养成

举题说法

等差数列的基本量运算

例1(1)(2024·南昌一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝eq\f(1,3)，a6＝eq\f(2,3)，则S17＝()

A.51 B.34

C.17 D.1

(2)(2024·济宁一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝2，S6＝9，则S10＝()

A.14 B.16

C.18 D.20

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).

(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.

变式1(1)(2024·临沂一模改)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a17＋a2010＝1，则S2026＝()

A.1012 B.1013

C.2024 D.2026

(2)(2024·岳阳二模)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝15，a4＋a6＋a8＝33，则a9＝()

A.6 B.12

C.17 D.24

等差数列的判定与证明

例2(2024·南通模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn－eq\f(1,2)an＝n2＋1，n∈N*.

(1)求a1，a2，并证明：数列{an＋an＋1}是等差数列；

(2)求S20.

判断数列{an}是等差数列的常用方法：(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法(客观题中判断)；(4)前n项和公式法(客观题中判断).

变式2(2024·深圳一调)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20，且eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列．

(1)求证：数列{an}为等差数列；

(2)若数列{bn}满足b1＝6，且eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an,an＋2)，设Tn为数列{bn}的前n项和，集合M＝{Tn|Tn∈N*}，求M(用列举法表示)．

等差数列的常见性质

视角1项的性质

例3-1(1)(2024·赣州二模)在等差数列{an}中，a2，a5是方程x2－8x