高考数学　二项式定理及其应用专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

高考数学

二项式定理及其应用

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激活思维

1.(人A选必三P31练习T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是()

A.－Ceq\o\al(6,10) B.Ceq\o\al(6,10)

C.－Ceq\o\al(5,10) D.Ceq\o\al(5,10)

2.(人A选必三P34习题T1(2))若二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n＝()

A.4 B.5

C.6 D.7

3.(1－2x)(x＋2)3的各项系数和为()

A.－27 B.27

C.16 D.－16

4.(人A选必三P38复习参考题T9改)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()

A.74 B.121

C.－74 D.－121

5.(人A选必三P31练习T5)在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是__________________．

聚焦知识

1.二项式定理

二项式定理

(a＋b)n＝_________________(n∈N*)

二项展开式

的通项公式

Tk＋1＝____________，它表示第______________项

二项式系数

展开式中各项的二项式系数为Ceq\o\al(k,n)(k∈{0，1，2，…，n})

2.二项式系数的性质

(1)Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(n,n)＝1，Ceq\o\al(m,n＋1)＝___________________，

Ceq\o\al(m,n)＝___________________(0≤m≤n).

(2)二项式系数先增后减中间项最大．当n为偶数时，第eq\f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为Ceq\o\al(eq\s\up4(\f(n,2)),n)；当n为奇数时，第eq\f(n＋1,2)项和第eq\f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为Ceq\o\al(eq\s\up6(\f(n－1,2)),n)和Ceq\o\al(eq\s\up6(\f(n＋1,2)),n).

(3)各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝___________________，Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝___________________．

研题型素养养成

举题说法

展开式的特定项

视角1(a＋b)n的展开式

例1-1(1)(2024·唐山一模)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3－\f(1,x)))eq\s\up12(4)的展开式中，常数项为__________________．(用数字作答)

(2)(2024·鹰潭一模)eq\f((2x－y)6,x2y4)的展开式中eq\f(y,x)的系数为___________________．

(3)(2024·益阳4月检测)已知(1＋62x)99＋(62－x)99＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a99x99，且a0，a1，a2，…，a99∈R，则满足ak＜0(k∈N且0≤k≤99)的k的最大值为___________________．

求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．

视角2(a＋b)m(c＋d)n的展开式

例1-2(1)(2024·武汉4月调研)(2x－3)(x－1)5的展开式中x3的系数为()

A.－50 B.－10

C.10 D.50

(2)(2025·常州期末)已知(x＋ay)(2x－y)5的展开式中x2y4项的系数为30，则a＝___________________．

对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

视角3(a＋b＋c)n的展开式

例1-3(1)(2024·太原三模)(x＋y－1)5的展开式中xy2的系数为()

A.－20 B.20

C.－30 D.30

(2)(2024·沧州二模)在(x－2y＋3z)6的展开式中，xy2z3项的系数为()

A.6