高考数学　解三角形及其应用举例专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

高考数学

解三角形及其应用举例

研题型素养养成

举题说法

周长、面积的最值问题

例1(2024·湛江一模)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos(B－C)＋acosA－2eq\r(3)csinBcosA＝0.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC外接圆的直径为2eq\r(3)，求2c－b的取值范围．

解三角形中最值(范围)问题的解题策略

利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围).

变式1(2024·随州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R，面积为S，已知A为锐角，且(b2＋c2－2R2)tanA＝4S.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，求△ABC面积S的最大值．

多三角形问题

例2(2024·安庆二模)如图，在平面凸四边形ABCD中，tan∠ABD＋tan∠ADB＝eq\f(2sin∠BAD,cos∠ABD).

(例2)

(1)求∠ADB的大小；

(2)若AD＝BD＝4，∠ACB＝∠BDC＝eq\f(π,6)，求CD.

多三角形的综合应用主要考虑单向传递(一元)，还是多向综合传递(二元或多元)，特别是用于中线问题，角平分线问题的多元传递，建立方程组解决问题，是学生的难点性问题．

变式2(2024·南昌一模)如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC＝10，∠BAC＝eq\f(π,3)，∠DAC＝eq\f(π,4)，BD交AC于点E.

(变式2)

(1)求BD2；

(2)求AE.

解三角形的实际应用

(2024·临沂一模)在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北eq\f(θ,2)方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为()

A.7公里 B.8公里

C.9公里 D.10公里

解三角形的应用问题的要点

(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素．

(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．

变式3(2024·漳州三检)如图，某城市有一条公路从正西方向AO通过路口O后转向西北方向OB，围绕道路OA，OB打造了一个半径为2km的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道MN，则MN的最小值为_____________km.

(变式3)

随堂内化

1.(多选)某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°方向，距离为12eq\r(6)nmile，测得灯塔C在北偏西30°方向，距离为8eq\r(3)nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，测得灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是()

A.A处与D处之间的距离是24nmile

B.灯塔C与D处之间的距离是16nmile

C.灯塔C在D处的南偏西30°方向

D.D在灯塔B的北偏西30°方向

2．(2024·郑州、周口二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq\r(2)，b＝4，ccosB＋a＝0，则c＝_eq\r(10)_；若点D在线段AB上，且∠CDA＝eq\f(3π,4)，则CD＝______________．

3.(2024·淮北二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c－b＝2csin2eq\f(A,2).

(1)试判断△ABC的形状；

(2)若c＝1，求△ABC周长的最大值．

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()

A.10km B.10eq\r(3)km

C.10eq\r(5)km D.10eq\r(7)km

2.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b－c)2－a2＝－bc.若a＝eq\r(3)，则△ABC面积的最大值是()

A.eq\r(3) B.eq\f(3\r(3),4)

C.eq\f(3\r(3),2) D.2eq\r(3)

3.(2024·河南济、洛、平、许四模)在△ABC中，AB＝3eq\r(2)，cos∠BAC＝－eq\f(1,3)，AD⊥AC，且AD交BC于点D，AD＝3，则sinC＝()

A.