高考数学　多变量最值问题专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

微专题多变量最值问题

因式分解双换元

例1(1)已知0＜a＜1，0＜b＜1，且4(a＋b)＝4ab＋3，则a＋2b的最大值为（）

A.2 B.2eq\r(2)

C.3－eq\r(2) D.3－2eq\r(2)

(2)已知x2－3xy＋2y2＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为（）

A.eq\r(10)－6 B.eq\r(10)＋6

C.2eq\r(10)＋6 D.2eq\r(10)－6

变式1设实数x，y满足eq\f(x2,4)－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是______________．

构造二次不等式

例2已知正数a，b满足a＋b＋eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝10，则a＋b的最大值是_____________．

变式2已知x，y＞0，若x＋4y＋6＝eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)，则eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)的最小值是（）

A.8 B.7

C.6 D.5

构造齐次式

例3已知实数a，b＞0，若a＋2b＝1，则eq\f(3a,b)＋eq\f(1,ab)的最小值为（）

A.12 B.2eq\r(3)

C.6eq\r(3) D.8

变式3（2024·天津期中）已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则eq\f(ab,c)的最大值为______________．

柯西不等式

1.柯西不等式的二维形式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．

2.柯西不等式的一般情形：（aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)）·（beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n)）≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．

例4(1)已知x，y，z∈R，且2x＋y－eq\r(5)z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是_____________．

(2)已知a，b，c均为正数，若a＋b＋c＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值为（）

A.9 B.8

C.3 D.eq\f(1,3)

变式4已知a＞1，b＞eq\f(1,2)，且2a＋b＝3，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b－1)的最小值为（）

A.1 B.eq\f(9,2)

C.9 D.eq\f(1,2)

权方和不等式

1.二维形式的权方和不等式：若a，b，x，y＞0，则eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f((a＋b)2,x＋y)，当且仅当eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)时，等号成立．

推广1：eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)＋eq\f(c2,z)≥eq\f((a＋b＋c)2,x＋y＋z)，当eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)＝eq\f(c,z)时，等号成立．

推广2：若ai＞0，bi＞0，则eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))eq\f(aeq\o\al(2,i),bi)＝eq\f(aeq\o\al(2,1),b1)＋eq\f(aeq\o\al(2,2),b2)＋…＋eq\f(aeq\o\al(2,n),bn)≥eq\f((a1＋a2＋…＋an)2,b1＋b2＋…＋bn)，当ai＝λbi时，等号成立．

2.一般形式的权方和不等式：若ai＞0，bi＞0，m＞0，则eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))eq\f(aeq\o\al(m+1,i),beq\o\al(m,i))＝eq\f(aeq\o\al(m+1,1),beq\o\al(m,1))＋eq\f(aeq\o\al(m+1,2),beq\o\al(m,2))＋…＋eq\f(aeq\o\al(m+1,n),beq\o\al(m,n))≥eq\f((a1＋a2＋…＋an)m+1,(b1＋b2＋…＋bn)m)，当ai＝λbi时，等号成立．

例5若对任意的x＞1，y＞eq\f(1,2)，eq\f(x2,a2(2y－1))＋eq\f(4y2,a2(x－1))≥1恒成立，则实数a的最大值为_____________．

变式5若a＞1，b＞1，则eq\f(a2,