高考数学　导数与不等式证明专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

导数与不等式证明

研题型素养养成

举题说法

构造新函数求最值证明不等式

例1(2024·深圳二模)已知函数f(x)＝(ax＋1)ex，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)－f(x)＝2ex.

(1)若曲线y＝f(x)在x＝0处的切线为y＝kx＋b，求k，b的值；

(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥kx＋b.

变式1(2024·威海二模节选)求证：lnx＋x＋1≤xex.

隔离分析证明不等式

例2已知f(x)＝x2－xlnx.

(1)求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)当a∈(0，2e)时，求证：2x2－(2x＋a)lnx＞0.

利用放缩法证明不等式

例3(2024·福州2月质检节选)已知函数f(x)＝xlnx－x2－1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)求证：f(x)＜e－x＋eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)－1.

变式3已知函数f(x)＝ax－sinx.

(1)若函数f(x)为增函数，求实数a的取值范围；

(2)求证：当x＞0时，ex＞2sinx.

(提示：用x＞sinx放缩)

随堂内化

1.(2024·山西省一模节选)已知a＞0，且a≠1，函数f(x)＝ax＋ln(1＋x)－1.

(1)记an＝f(n)－ln(n＋1)＋n，Sn为数列{an}的前n项和，求证：当a＝eq\f(8,9)时，S64＜2024；

(2)若a＝eq\f(1,e)，求证：xf(x)≥0.

配套精练

A组夯基精练

1.(2024·武汉5月训练)已知函数f(x)＝－f′(1)x2＋x＋2lnx.

(1)求f′(1)，并写出f(x)的表达式；

(2)求证：f(x)≤x－1.

2.(2024·全国甲卷文)已知函数f(x)＝a(x－1)－lnx＋1.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若a≤2时，求证：当x＞1时，f(x)＜ex-1恒成立．

3.(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)求证：当a＞0时，f(x)＞2lna＋eq\f(3,2).

4.(2024·娄底一模节选)已知函数f(x)＝eq\f(x,ex)，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求证：f(x)≤ex－1.

B组能力提升练

5.(2024·苏州期末)已知函数f(x)＝eq\f(lnx＋1,ex).

(1)求f(x)的极值；

(2)求证：f(x)＜eq\f(2ln2－1,ex)＋eq\f(1,4).