高考数学　空间几何体中的动点轨迹问题专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

高考数学

微专题空间几何体中的动点轨迹问题

由动点保持平行性求轨迹

例1(2024·龙岩3月质检节选)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱BC的中点，点Q满足eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CC1,\s\up6(→))，点F在侧面BB1C1C内，且A1F∥平面APQ，则点F的轨迹长度为___________________．

与平行有关的轨迹问题：

(1)线面平行转化为面面平行求轨迹；

(2)平行时可利用法向量垂直关系求轨迹．

变式1(2024·湖北七市州3月调研节选)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点(包括边界)，且B1F∥平面A1BE，则动点F的轨迹长度为_________________．

由动点保持垂直性求轨迹

例2(2024·深圳一调节选)如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E在同一个平面内，点M在四边形BCDE内(包含边界)运动，N为AE的中点.

(例2)

(1)当MN∥平面ACD时，点M的轨迹长度为_________________；

(2)当MA⊥ME时，点M到BC的距离的最小值为__________________．

与垂直有关的轨迹问题：

(1)可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；

(2)利用空间坐标运算求轨迹；

(3)利用垂直关系转化为平行关系求轨迹．

变式2已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为3eq\r(3)的正方形，AA1＝3，M为CC1的中点，O为A1M的中点，则点O到底面ABCD的距离为___________________；若P为底面ABCD内的动点，且A1P⊥PM，则动点P的轨迹长度为___________________．

由动点保持等距(等角)求轨迹

例3(1)(2024·济南、青岛、枣庄三模节选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为棱DD1，DC的中点，P为四边形A1B1C1D1(含边界)内一动点，且MP＝2，则点P的轨迹长度为__________________，点P到平面AMN距离的最大值为___________________．

(2)在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，点P在正方形DCC1D1(包括边界)上运动，且满足∠APD＝∠MPC，则点P的轨迹长度为__________________．

与距离有关的轨迹问题：

(1)可转化为在一个平面内的距离关系，借助球和圆的定义等知识求解轨迹；

(2)利用空间坐标计算求轨迹．

与角度有关的轨迹问题：

(1)直线与平面成定角，可能是圆锥侧面；

(2)直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；

(3)利用空间坐标计算求轨迹．

变式3(2024·台州二模节选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为平面ABCD内一动点，且直线D1P与平面ABCD所成角为eq\f(π,3)，则点P的轨迹长度为___________________，直线CP与平面CDD1C1所成角的正弦值的最大值为__________________．

折叠过程中的动点轨迹

例4在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，AD＝1，点E在CD上，现将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，当E从D运动到C，则点D在平面ABC上的射影K的轨迹长度为()

A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(2\r(2),3)

C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,3)

折叠过程，指定点的轨迹，实际是一个等距问题(轨迹是圆弧)，方法的核心是从这个指定点出发，向折线作垂线，垂足即为轨迹圆心．

变式4在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E，F分别为边AB，CD的中点，如图，沿直线DE将△ADE翻折成△PDE，在点P从A至F的运动过程中，CP的中点G的轨迹长度为__________________eq\f(\r(2)π,2)_．

(变式4)

配套精练

1.(2024·潍坊、滨州一模)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为截面A1C1B上的动点，若DP⊥A1C，则点P的轨迹长度是()

(第1题)

A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2)

C.eq\f(1,2) D.1

2.(2024·南京、盐城一模)在棱长为2a(a＞0)的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB，D1C1的中点．已知动点P在该正方体的表面上，且eq\o(PM,\s\up6(→))·eq