高考数学　导数与函数零点专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

导数与函数零点

研题型素养养成

举题说法

讨论函数零点的个数

例1(2024·广东省一模)已知0＜a＜1，函数f(x)＝eq\f(aex－a,x)(x≠0).

(1)求f(x)的单调区间；

(2)讨论方程f(x)＝a的根的个数．

变式1(2025·苏州期初)已知函数f(x)＝sinx＋ex－4x，e为自然对数的底数，函数g(x)＝x3－ax＋3.

(1)若f(x)在(0，1)处的切线也是g(x)的切线，求实数a的值；

(2)求f(x)在(－π，＋∞)上的零点个数．

根据函数零点情况确定参数

例2(2024·岳阳二模)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，a∈R.

(1)当a＝eq\f(e,2)时，求f(x)的单调区间；

(2)若方程f(x)＋a＝0有三个不同的实根，求a的取值范围．

变式2(2024·阜阳一测节选)已知函数f(x)＝3lnx－ax.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)已知x1，x2是函数f(x)的两个零点(x1＜x2)，求实数a的取值范围．

随堂内化

1.若函数f(x)＝2x3－6x＋m有三个零点，则实数m的取值范围是()

A.[－4，4]

B.(－4，4)

C.(－∞，－4]∪[4，＋∞)

D.(－∞，－4)∪(4，＋∞)

2.(2024·唐山一模)(多选)已知函数f(x)＝x3－3x＋1，则()

A.直线y＝－eq\f(3,2)x是曲线y＝f(x)的切线

B.f(x)有两个极值点

C.f(x)有三个零点

D.存在等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，满足eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(k＝1))f(ak)＝5

3.(2024·广州二模)已知函数f(x)＝a(x＋1)e－x＋x2，讨论f(x)的零点个数．

配套精练

一、单项选择题

1.函数f(x)＝ex与g(x)＝x＋1的图象的交点个数为()

A.0 B.1

C.2 D.不确定

2.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－sinx，则函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，＋∞))上零点的个数为()

A.0 B.1

C.2 D.3

3.已知函数f(x)＝ex－eq\f(a,x)(a∈R)，则函数f(x)的零点个数最多为()

A.0 B.1

C.2 D.3

4.(2023·全国乙卷文)若函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则实数a的取值范围是()

A.(－∞，－2) B.(－∞，－3)

C.(－4，－1) D.(－3，0)

二、多项选择题

5.(2024·随州5月模拟)已知函数f(x)＝(x2－3)ex，x∈R，则()

A.函数f(x)有且只有2个零点

B.函数f(x)的单调递减区间为(－3，1)

C.函数f(x)存在最大值和最小值

D.若方程f(x)＝a有三个实数解，则a∈(－2e，6e-3)

(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则()

A.f(x)有两个极值点

B.f(x)有三个零点

C.点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心

D.直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线

7.(2024·济南、青岛、枣庄三模)若函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＋eq\f(2,x)，则()

A.f(x)的图象关于点(0，0)对称

B.f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))上单调递增

C.f(x)的极小值点为eq\f(\r(2),2)

D.f(x)有两个零点

三、填空题

8.函数f(x)＝(1＋x2)ex－1的零点个数为_____________．

9.(2024·全国甲卷文)若曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则实数a的取值范围为______________．

10.(2025·济宁期中)已知函数f(x)＝x2－eq\f(1,2)lneq\f(x,2)＋ax在区间(2，＋∞)上没有零点，则实数a的取值范围是______________．

四、解答题

11.(2024·上饶二模)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋ax－2lnx＋b的图象在x＝2处的切线与直线y＝－eq\f(1,2)x＋5垂直．

(1)求实数a的值；

(2)若函数f(x)在[1，e]上无零点，求实数b的取值范围．

12.(2024·郑州三模)已知函数f(x)＝eax－x.