高考数学　空间几何体的外接球与内切球专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

高考数学

微专题空间几何体的外接球与内切球

长方体切割体的外接球

例1(1)(墙角模型)在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为()

A.eq\r(6)π B.2eq\r(6)π

C.3eq\r(6)π D.4eq\r(6)π

(2)(鳖臑模型)(2024·汕头二模)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA＝8，AC＝6，则球O的表面积为()

A.10π B.25π

C.50π D.100π

(3)(对棱相等模型)已知平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°，若沿对角线AC将△ABC折起到△ACB′的位置，使得B′D＝eq\r(13)，则此时三棱锥B′-ACD的外接球的体积是___________________．

补形法适用的三种常见三棱锥：

①墙角模型——三条棱两两垂直，如图(1)；

②鳖臑模型——四个面都是直角三角形，如图(2)；

③对棱相等模型——三组对棱分别相等，如图(3).

图(1) 图(2)

图(3)

柱体的外接球

例2(1)(2024·济南、青岛、枣庄三模)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为()

A.4π B.6π

C.8π D.10π

(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则该直三棱柱外接球的表面积为()

A.72π B.114π

C.136π D.144π

锥体的外接球

例3(1)(2024·邵阳二联)已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝60°，PA＝AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为()

A.eq\f(14π,3) B.eq\f(28π,3)

C.10π D.5π

(2)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为eq\f(32π,3)，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为()

A.3π B.4π

C.9π D.12π

单面定球心法

步骤：(1)定一个面外接圆圆心：如图(1)，在三棱锥P-ABC中，选中底面三角形ABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理2r＝eq\f(a,sinA)定外心).

(2)①侧棱相等的三棱锥——如图(1)，PO1⊥底面ABC，则球心一定在直线PO1上(注意不一定在线段PO1上)；在直线PO1上取球心O，则OP＝OA＝R，利用公式OA2＝O1A2＋OOeq\o\al(2,1)，可计算出球半径R.

图(1)

②侧棱垂直于底面的棱锥——如图(2)，过△ABC的外接圆圆心O1作底面ABC的垂线，球心O在垂线上，过球心O向PA作垂线，垂足为M，则有MA＝OO1＝h，OM＝O1A＝r.计算球半径R：利用OA＝R＝eq\r(r2＋h2)＝OP＝eq\r(r2＋(PA－h)2)，求出h，从而求出Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(实际上h＝\f(1,2)PA)).

图(2)

台体的外接球

例4(1)(2024·南京二模)在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为()

A.3∶4 B.1∶2

C.3∶8 D.3∶10

(2)(多选)某正四棱台的上、下底面边长分别为3eq\r(2)和4eq\r(2)，若该正四棱台所有的顶点均在表面积为100π的球面上，则该正四棱台的体积可能为()

A.eq\f(70,3) B.eq\f(74,3)

C.eq\f(515,3) D.eq\f(518,3)

几何体的内切球

例5(1)(等体积法)在正四棱锥P-ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该正四棱锥内切球的表面积是()

A.eq\f(4π,7) B.eq\f(24π,7)

C.eq\f(36π,7) D.eq\f(72π,7)

(2)(独立截面法)(2024·广州冲刺训练(一))已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，且圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝4r1＝4，则圆台的体积与球的体积之比为()

A.eq\f(7,4) B.eq\f(21,8)

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