高考数学　空间距离的计算专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

高考数学

空间距离的计算

研题型素养养成

举题固法

点线距

例1已知矩形ABCD中，∠BCA＝30°，AC＝20，PA⊥平面ABCD，且PA＝5，则点P到BC的距离为___________________.

求点到直线的距离的两种方法：

(1)设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，则点A到直线l的距离的平方d2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2－(eq\o(PA,\s\up6(→))·n)2.

(2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．

变式1如图(1)，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝2eq\r(2)，AD＝DC＝eq\r(2).现将△ADC沿对角线AC折成直二面角P-AC-B，如图(2)，点M在线段BP上．

图(1)

图(2)

(变式1)

(1)求证：AP⊥CM；

(2)若点M到直线AC的距离为eq\f(2\r(5),5)，求eq\f(BM,BP)的值．

点面距

视角1等积法

例2-1如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC＝2eq\r(2)，M为BC的中点．

(例2-1)

(1)求直线PB与平面AMP所成角的正弦值；

(2)求点D到平面AMP的距离．

视角2向量法

例2-2(2024·苏中苏北七市二调)如图，边长为4的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，AG＝2GD，直线AB与平面EFG相交于点H.

(例2-2)

(1)求证：直线HE，GF，AC相交于一点；

(2)求直线BD与平面EFG的距离．

空间距离中探究性问题

例3如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC.

(例3)

(1)若BA＝BB1，求证：AB1⊥平面A1BC；

(2)若BA＝BC＝BB1＝2，M是棱BC上的一动点，试确定点M的位置，使点M到平面A1B1C的距离等于eq\f(\r(2),2).

随堂内化

(多选)如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC为等边三角形，SA⊥平面ABC，SA＝3，AB＝2.点D在线段SC上，且SD＝eq\f(1,3)SC，E为线段SB的中点，以线段BC的中点O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴，过点O作SA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是()

(第1题)

A.直线CE的一个方向向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))

B.点D到直线CE的距离为eq\f(8\r(7),21)

C.平面ACE的一个法向量为(eq\r(3)，3，－2)

D.点D到平面ACE的距离为1

2.(2024·福州4月质检)已知四棱锥E-ABCD的顶点均在球O的球面上，底面ABCD为矩形，平面BEC⊥平面ABCD，BC＝eq\r(5)，CD＝CE＝1，BE＝2，则点O到平面ADE的距离为()

A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)

C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(5),8)

配套精练

一、单项选择题

1.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为CD的中点，则点D1到平面AEC1的距离等于()

(第1题)

A.eq\f(\r(3),3)

B.eq\f(\r(3),4)

C.eq\f(\r(6),3)

D.eq\f(\r(6),4)

2.若四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为()

A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(1,2)

C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)

3.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O为正方形ADD1A1的中心，若P为平面OD1B内的一个动点，则点P到直线A1B1的距离的最小值为()

(第3题)

A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(1,2)

C.eq\f(\r(6),4) D.eq\f(\r(3),3)

4.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为()

(第4题)

A.eq\f(5,13) B.eq\f(12,13)