高考数学　空间角的计算专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

高考数学

空间角的计算

研题型素养养成

举题固法

异面直线所成角的计算

例1(2025·苏州期中)如图(1)，在平面四边形ABCD中，CB＝CD＝2eq\r(3)，tan∠CDB＝eq\r(2)，O为对角线BD的中点，F为BC的中点，E为线段AD上一点，且BE⊥AO，CO＝AB，AB⊥BD.

图(1)

图(2)

(例1)

(1)求AE的长；

(2)在平面四边形ABCD中，以BD为轴将△BCD向上折起，如图(2)，当平面CBD⊥平面ABD时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值．

向量法求异面直线所成角的步骤

(1)选好基底或建立空间直角坐标系；

(2)求出两直线的方向向量v1，v2；

(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．

变式1(2024·武汉5月训练)已知菱形ABCD中∠DAB＝eq\f(π,3)，将△DAC沿对角线AC折起，使以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()

A.eq\f(3,5) B.eq\f(\r(3),2)

C.eq\f(3,4) D.eq\f(\r(3),4)

线面所成角的计算

例2(2024·广州一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB＝∠PCB＝eq\f(π,4)，M，N分别为DP和AB的中点．

(例2)

(1)求证：MN∥平面PBC；

(2)求证：平面PBC⊥平面ABCD；

(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值．

变式2(2024·青岛一模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与BB1的距离为eq\r(3)，AB＝AC＝A1B＝2，A1C＝BC＝2eq\r(2).

(变式2)

(1)求证：平面A1ABB1⊥平面ABC；

(2)若点N在棱A1C1上，求直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值．

二面角

例3(2024·新高考Ⅱ卷)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5eq\r(3)，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，将△AEF沿EF折起至△PEF，使得PC＝4eq\r(3).

(例3)

(1)求证：EF⊥PD；

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．

可通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．如果题干是夹角，则一定是锐角或直角．

变式3(2024·全国甲卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝eq\r(10)，FB＝2eq\r(3)，M为AD的中点．

(变式3)

(1)求证：BM∥平面CDE；

(2)求二面角F-BM-E的正弦值．

．

配套精练

一、单项选择题

1.在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为()

A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),6)

C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(6),6)

2.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()

A.eq\f(1,10) B.eq\f(2,5)

C.eq\f(\r(30),10) D.eq\f(\r(2),2)

3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和A1D1的中点，则直线AC与平面ABEF所成角的正弦值为()

A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(\r(10),5)

C.eq\f(2\r(3),5) D.eq\f(\r(15),5)

4.如图，底面ABCD是边长为2的正方形，半圆面APD⊥底面ABCD，点P为圆弧AD上的动点．当三棱锥P-BCD的体积最大时，二面角P-BC-D的余弦值为()

(第4题)

A.eq\f(\r(2),5) B.eq\f(\r(5),5)

C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f