高考数学　离散型随机变量及其概率分布、期望与方差专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

高考数学

离散型随机变量及其概率分布、期望与方差

链教材夯基固本

激活思维

1.(人A选必三P70练习T2)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)＝__________________．

2.(人A选必三P66练习T1)已知随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

5

P

0.1

0.3

0.4

0.1

0.1

则E(X)＝___________________，E(3X＋2)＝__________________．

3.(人A选必三P70练习T1)已知随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

P

0.2

0.3

0.4

0.1

则D(X)＝___________________，σ(2X＋7)＝__________________．

4.(人A选必三P71练习T3)已知随机变量X的分布列为P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，若E(X)＝1，则a＝___________________，b＝__________________．

5.(人A选必三P71练习T2)现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票可能中奖金额的均值是__________________．

聚焦知识

1.离散型随机变量的分布列的性质

(1)pi___________________0(i＝1，2，…，n)；

(2)p1＋p2＋…＋pn＝__________________．

2.离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

(1)均值：

E(X)＝___________________＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的__________________．

(2)方差：

D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝_________________为随机变量X的方差，并称eq\r(D(X))为随机变量X的___________________，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的___________________．

3.均值与方差的性质

(1)E(X1＋X2)＝___________________；

(2)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝__________________；

(3)E(aX＋b)＝___________________(a，b为常数)；

(4)D(aX＋b)＝___________________(a，b为常数)；

(5)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.

研题型素养养成

举题说法

离散型随机变量的分布列的性质

例1(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X

0

1

P

9a2－a

3－8a

则常数a的值为()

A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)

C.eq\f(1,3)或eq\f(2,3) D.－eq\f(1,3)或－eq\f(2,3)

(2)设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：

ξ

－1

0

1

2

3

P

eq\f(1,10)

eq\f(1,5)

eq\f(1,10)

eq\f(1,5)

eq\f(2,5)

则下列各式正确的是()

A.P(ξ＜3)＝eq\f(2,5) B.P(ξ＞1)＝eq\f(4,5)

C.P(2＜ξ＜4)＝eq\f(2,5) D.P(ξ＜0.5)＝0

离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)利用“概率之和为1”求相关参数．

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．

(3)可根据性质判断所得分布列结果是否正确．

变式1(1)已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝eq\f(a,n(n＋1))(n＝1，2，3，…，10)，则实数a＝___________________．

(2)设随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

P

eq\f(1,3)

m

eq\f(1,4)

eq\f(1,6)

则P(|X－3|＝1)＝___________________．

离散型随机变量的分布列及数字特征

视角1期望与方差

例2-1(2024·郑州、周口二模)荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”．有甲、乙、