高考数学　空间角与距离的计算专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

高考数学

空间角与距离的计算

链教材夯基固本

激活思维

1.(人A选必一P38练习T1)在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()

A.eq\f(\r(30),10) B.eq\f(1,2)

C.eq\f(\r(30),15) D.eq\f(\r(15),10)

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线DC1与平面ACE所成角的正弦值为()

A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)

C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(3),3)

3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且A1C⊥平面AEF，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则平面AEF和平面D1B1BD夹角的余弦值为()

(第3题)

A.eq\f(\r(2),25) B.eq\f(6\r(2),25)

C.eq\f(12\r(2),25) D.eq\f(3,4)

4.(人A选必一P35T2(1)改)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，已知AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为()

(第4题)

A.eq\f(2,7) B.eq\f(2\r(35),7)

C.eq\f(\r(35),7) D.1

5.(人A选必一P35T2(3)改)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为()

A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),4)

C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),3)

聚焦知识

1.两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两条异面直线l1，l2的方向向量．

l1与l2所成的角θ

a与b的夹角β

范围

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))

(0，π)

求法

cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)

cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)

2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).

3.平面与平面的夹角的求法

如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．

若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).

4.点P到直线l的距离

已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，点P到直线l的距离为PQ＝___________________．

5.点面距的求法

(1)定义法：自点向平面作垂线，利用三角形知识求垂线段的长度；

(2)等积法：利用体积相等求棱锥的高，如VP-ABC＝VA-PBC.

(3)向量法：如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).

说明：线面距和面面距可转化成点面距求解．