高考数学　等比数列及其前n项和专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

等比数列及其前n项和

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激活思维

1.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝()

A.14 B.12

C.6 D.3

2.(2021·全国甲卷)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，则λ＝()

A.－2 B.－1

C.1 D.2

4.(人A选必二P31练习T3改)在递增等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，则a1＝____________，q＝____________．

5.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3＝4a1，则eq\f(S8,S4)＝______________．

聚焦知识

1.等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an＝______________，其推导方法是累乘法．

2.等比数列的前n项和公式

设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝____________；当q≠1时，Sn＝_____________＝____________，其推导方法是错位相减法．

3.等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，t，r，k∈N*).

(1)若m＋n＝p＋t＝2r，则am·an＝ap·at＝aeq\o\al(2,r).

(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1，或q＝－1且m为奇数)．

(4)若{bn}(与{an}项数相同)也是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列．

(5)若an＞0，则{logaan}(a＞0且a≠1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列．

(6)?m，p∈N*，Sm＋p＝Sm＋qmSp.

(7)若{an}共有2n项，则eq\f(S偶,S奇)＝q，其中S偶，S奇分别是数列{an}的偶数项和与奇数项和．

(8)等比数列的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．

4.常用结论

(1)等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，其中c≠0，q≠0.

(2)等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A，其中A≠0，q≠1，0.

研题型素养养成

举题说法

等比数列的基本量运算

例1(1)(2024·南通一调)设{an}为等比数列，a2＝2a4＋3a6，则eq\f(a4－a7,a2－a5)＝()

A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,3)

C.3 D.9

(2)(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝()

A.eq\f(15,8) B.eq\f(65,8)

C.15 D.40

等比数列基本量运算的解题策略

(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．

(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．

变式1(1)(2024·南京、盐城一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋5a1，a5＝4，则a1＝()

A.eq\f(1,4) B.－eq\f(1,4)

C.eq\f(1,2) D.－eq\f(1,2)

(2)(2024·连云港、如皋联考)设数列{an}满足lgan＋1＝1＋lgan，且a21＋a22＋a23＋a24＋a25＝10eq\s\up6(\f(41,2))，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()

A.1 B.eq\r(10)

C.10 D.100

等比数列的判定与证明

例2(2024·潍坊模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1＝