2026高一数学同步4.4.3 不同函数增长的差异 （导学案）（解析版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.4.3不同函数增长的差异

导学案

(1)通过图象和数据对比，直观感受一次函数、指数函数、对数函数的增长差异，能描述它们的增长特征（直线上升、指数爆炸、对数增长）。

(2)掌握“当自变量足够大时，指数增长线性增长对数增长”的规律，并能解释其原因。

(3)能根据实际问题的增长特点，选择合适的函数模型（如快速增长问题选指数模型，平缓增长问题选对数模型）。

(4)经历“观察图象→分析数据→归纳规律→应用模型”的过程，提升直观想象和数学建模素养。

教学重点：

1.对比分析一次函数、指数函数、对数函数的增长差异（图象特征、增长速度变化）；

2.理解“直线上升”?“指数爆炸”?“对数增长”的含义，并能根据实际问题选择合适的函数模型。

教学难点：

理解“增长速度”与“函数值大小”的区别（如某一时刻对数函数值可能大于指数函数值，但增长速度远慢于指数函数）；

从实际问题中抽象出函数模型，准确判断其增长类型。

知识点三种函数的性质及增长速度比较

一次函数

指数函数

对数函数

解析式

y＝kx(k＞0)

y＝ax(a＞1)

y＝logax(a＞1)

单调性

在(0，＋∞)上单调递增

图象(随x的增大)

直线逐渐上升

逐渐与y轴平行

逐渐与x轴平行

增长速度(随x的增大)

y的增长速度不变

y的增长速度越来越快

y的增长速度越来越慢

增长关系

存在一个x0，当x＞x0时，ax＞kx＞logax

[拓展]指数函数、对数函数和幂函数的增长差异

一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有axxnlogax.

【设计意图】通过回顾上节课的知识，帮助学生巩固已学内容，为学习新知识做好衔接。

【教学建议】教师可以通过提问的方式，引导学生回顾知识，同时关注学生的回答情况，及时纠正错误。

情景问题1：社区便利店的盈利增长预测

某社区新开了一家便利店，店主计划通过两种方案提升盈利，两种方案的月盈利（单位：千元）与经营时间t（单位：月，t≥

方案A（稳定拓展客源）：盈利随时间均匀增长，满足一次函数模型yA

方案B（线上线下联动）：盈利初期增长较慢，后期因客户积累呈快速增长，满足指数函数模型yB=1.5t+

分别计算经营第3个月、第6个月时，两种方案的月盈利，判断前6个月内哪种方案盈利更高；

经过多少个月后，方案B的月盈利会超过方案A？请通过计算或分析说明；

若便利店计划长期经营（5年以上），从增长趋势来看，你会建议店主选择哪种方案？结合“指数爆炸”与“线性增长”的差异说明理由。

设计意图

贴合生活场景：以便利店盈利增长为背景，贴近学生对社区商业的认知，让学生感受到不同函数增长模型在商业决策中的实际应用，体现数学与现实经济活动的关联。

统领核心知识：问题覆盖一次函数与指数函数的求值、增长速度对比、长期趋势分析，能自然串联“线性增长”?“指数爆炸”的特征差异，同时为后续引入对数函数增长（如后期盈利增速放缓的调整方案）埋下伏笔，构建完整的增长模型认知体系。

激发探索欲：前6个月方案A盈利更高与后期方案B反超的反差，打破学生“初期优势持续保持”的惯性思维，促使其主动探究“为何指数函数后期增长会远超一次函数”，深入理解不同函数增长的本质差异，培养用长远眼光分析问题的能力。

情景问题2：学生单词记忆效果的模型分析

某英语老师为研究学生的单词记忆效果，记录了两名学生在背诵同一组新单词后，每天能回忆起来的单词数量（单位：个）与时间d（单位：天，d≥

学生甲（记忆稳定遗忘慢）：回忆量随时间增长逐渐趋于稳定，满足对数函数模型甲y甲=15log2

学生乙（短期记忆爆发力强）：回忆量随时间均匀增长，满足一次函数模型乙y乙

分别计算第1天、第4天、第8天时，两名学生能回忆的单词数量，比较不同时间点的记忆效果；

随着时间推移（如1个月后，d=

若老师希望制定一个长期记忆计划（帮助学生3个月后仍能记住较多单词），结合“对数增长趋于稳定”与“线性增长持续但后期可能乏力”的差异，你会建议老师优先参考哪种记忆模型？并说明如何调整计划以优化长期记忆效果。

设计意图

贴近学生生活：以单词记忆为背景，直击学生学习中的常见场景，让学生深刻体会到数学模型能科学解释学习现象，打破“记忆效果只能凭感觉判断”的误区，感受数学的实用性。

统领课堂知识：问题涵盖对数函数与一次函数的求值、短期与长期增长趋势对比、模型选择建议，能清晰展