2026高一数学同步4.5 4.5.3 函数模型的应用（题型专练）（解析版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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4.54.5.3函数模型的应用

题型一：利用给定函数模型解决实际问题

1.（25-26高三上·河北保定·阶段练习）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（????）

A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍

【答案】B

【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题

【分析】结合给定的函数模型利用对数的运算性质化简求解.

【详解】设训练及个单位的数据量所需时间分别为，，

，

所以训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的3倍.

故选：B

2.（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中且.若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（????）

A．2 B．1 C． D．

【答案】A

【知识点】利用给定函数模型解决实际问题

【分析】依次求时的值，由此可得，再求其比值.

【详解】当时，，

当时，，

当时，，

故；故，

所以.

故选：A.

3.（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（????）

（参考数据：）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】D

【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题

【分析】由，，代入计算得，再根据题意列不等式计算即可求解.

【详解】因为，，

所以，解得，

即，

设第次净化后企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，

则，即，，

所以，

因为，所以废水净化的次数至少为次.

故选：D

4.（25-26高三上·北京顺义·开学考试）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（???）

（参考数据：，）

A． B．

C． D．

【答案】D

【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题

【分析】根据给定条件，列式求出，进而求出函数关系，再借助对数的运算求解.

【详解】依题意，，得，

两边同时取对数得，，解得，则，

令，得，两边同时取对数得，，

所以.

故选：D

题型二：指数型函数模型的应用

1.（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（????）

季节

春季

夏季

秋季

冬季

（参考数据：，）

A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季

【答案】D

【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题

【分析】根据已知函数模型结合指对数转化计算求解判断即可.

【详解】由题意，，所以，所以，，

，

所以，为冬季，

故选：D．

2.（24-25高一下·湖北荆门·期末）规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（????）（参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】B

【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题

【分析】根据，求得的值，即可得到的值，，化简整理，取以10为底的对数，计算即可得到所求最小值．

【详解】因为过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，

根据题设，得，，可得，所以，，

由，得，