2026高一数学同步4.4.3 不同函数增长的差异 （导学案）（原卷版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.4.3不同函数增长的差异

导学案

(1)通过图象和数据对比，直观感受一次函数、指数函数、对数函数的增长差异，能描述它们的增长特征（直线上升、指数爆炸、对数增长）。

(2)掌握“当自变量足够大时，指数增长线性增长对数增长”的规律，并能解释其原因。

(3)能根据实际问题的增长特点，选择合适的函数模型（如快速增长问题选指数模型，平缓增长问题选对数模型）。

(4)经历“观察图象→分析数据→归纳规律→应用模型”的过程，提升直观想象和数学建模素养。

教学重点：

1.对比分析一次函数、指数函数、对数函数的增长差异（图象特征、增长速度变化）；

2.理解“直线上升”?“指数爆炸”?“对数增长”的含义，并能根据实际问题选择合适的函数模型。

教学难点：

理解“增长速度”与“函数值大小”的区别（如某一时刻对数函数值可能大于指数函数值，但增长速度远慢于指数函数）；

从实际问题中抽象出函数模型，准确判断其增长类型。

知识点三种函数的性质及增长速度比较

一次函数

指数函数

对数函数

解析式

y＝kx(k＞0)

y＝ax(a＞1)

y＝logax(a＞1)

单调性

在(0，＋∞)上单调递

图象(随x的增大)

直线逐渐上升

逐渐与轴平行

逐渐与轴平行

增长速度(随x的增大)

y的增长速度

y的增长速度越来越

y的增长速度越来越

增长关系

存在一个x0，当x＞x0时，ax＞kx＞logax

情景问题1：社区便利店的盈利增长预测

某社区新开了一家便利店，店主计划通过两种方案提升盈利，两种方案的月盈利（单位：千元）与经营时间t（单位：月，t≥

方案A（稳定拓展客源）：盈利随时间均匀增长，满足一次函数模型yA

方案B（线上线下联动）：盈利初期增长较慢，后期因客户积累呈快速增长，满足指数函数模型yB=1.5t+

分别计算经营第3个月、第6个月时，两种方案的月盈利，判断前6个月内哪种方案盈利更高；

经过多少个月后，方案B的月盈利会超过方案A？请通过计算或分析说明；

若便利店计划长期经营（5年以上），从增长趋势来看，你会建议店主选择哪种方案？结合“指数爆炸”与“线性增长”的差异说明理由。

情景问题2：学生单词记忆效果的模型分析

某英语老师为研究学生的单词记忆效果，记录了两名学生在背诵同一组新单词后，每天能回忆起来的单词数量（单位：个）与时间d（单位：天，d≥

学生甲（记忆稳定遗忘慢）：回忆量随时间增长逐渐趋于稳定，满足对数函数模型甲y甲=15log2

学生乙（短期记忆爆发力强）：回忆量随时间均匀增长，满足一次函数模型乙y乙

分别计算第1天、第4天、第8天时，两名学生能回忆的单词数量，比较不同时间点的记忆效果；

随着时间推移（如1个月后，d=

若老师希望制定一个长期记忆计划（帮助学生3个月后仍能记住较多单词），结合“对数增长趋于稳定”与“线性增长持续但后期可能乏力”的差异，你会建议老师优先参考哪种记忆模型？并说明如何调整计划以优化长期记忆效果。

探究点1：匀速VS加速——一次函数与指数函数

在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．

问题1结合之前所学，请同学们自行阅读课本136页～138页，同桌之间可以相互讨论，5分钟后检查讨论结果．

通过对函数y＝lgx与y＝eq\f(1,10)x的比较我们发现，函数y＝eq\f(1,10)x的增长速度保持不变，函数y＝lgx的增长速度在变化，而且增长速度越来越慢，虽然函数y＝lgx在一定范围内比函数y＝eq\f(1,10)x增长快些，但存在一个x0，当xx0时，总有eq\f(1,10)xlgx，即使对数函数y＝logax(a1)中底数a的值远远大于一次函数y＝kx(k0)中k的值，一次函数y＝kx(k0)的增长速度最终都会超过对数函数y＝logax(a1)的增长速度．

问题2把一次函数y＝2x，对数函数y＝lgx和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异．

探究

选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？不妨以函数和为例．

利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表4.4-3），并在同一直角坐标系中画出它们的图象（图4.4-5）．可以看到，函数和的图象有两个交点，．在区间上，函数的图象位于的图象之上，；在区间上，函数的图象位于的图象之下，；在区间上，函