2026高一数学同步4.5.1 函数的零点与方程的解 （导学案）（解析版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

PAGE

PAGE1

好好学习

4.5.1函数的零点与方程的解

导学案

(1)理解函数零点的概念，能准确表述方程的解、函数零点与函数图象和x轴交点的关系。

(2)掌握函数零点存在定理，能运用定理判断函数在给定区间内是否存在零点。

(3)能结合函数单调性和图象判断函数零点的个数，提升数形结合能力。

(4)体会“函数与方程”的转化思想，发展逻辑推理和数学抽象素养。

教学重点

函数零点的概念及函数零点与方程解的关系。

函数零点存在定理的理解与应用（判断零点所在区间）。

教学难点

理解“函数零点是实数而非点”。

函数零点存在定理的条件分析（如不连续函数或端点函数值同号时定理不成立）。

结合函数单调性判断零点个数。

知识点一函数零点的概念

对于一般函数y＝f(x)，我们把eq\o(□,\s\up1(01))使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

函数y＝f(x)的eq\o(□,\s\up1(02))零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的eq\o(□,\s\up1(03))横坐标．

[点拨](1)函数的零点是实数而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0)．

(2)并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝eq\f(1,x)，y＝x2＋1均没有零点．

(3)若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．

知识点二方程的解与函数零点的关系

方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)eq\o(□,\s\up1(01))有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴eq\o(□,\s\up1(02))有公共点．

知识点三函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条eq\o(□,\s\up1(01))连续不断的曲线，且有eq\o(□,\s\up1(02))f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内eq\o(□,\s\up1(03))至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得eq\o(□,\s\up1(04))f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

[点拨](1)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．

(2)当函数f(x)是单调函数，且在区间[a，b]上的图象连续时，若f(a)f(b)0，则函数f(x)在区间[a，b]上的零点是唯一的．

[想一想]若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则一定有f(a)f(b)＜0吗？

导入1电梯里的“零点”

教师描述：早高峰电梯从1楼到10楼，若把“超载报警”看作函数值由负变正，那么一定存在某一楼层，电梯刚好达到满载——这就是连续变化中的“零点”。请思考：若电梯在某层突然停顿检修（不连续），还会保证一定出现“刚好满载”吗？

【设计意图】用身体经验切入“连续+异号?必经过零”的核心思想。

【教学建议】现场用手机传感器APP演示电梯运行高度—时间图象，直观展示连续与间断。

导入2共享单车调度

调度员发现：上午8:00A站点空位率为–20%（缺车），9:00变为+15%（多余）。假设调度是连续进行的，那么8:00–9:00之间必有一刻空位率恰为0%。如果调度系统故障导致瞬间大批量调走车辆（函数跳跃），结论还成立吗？

【设计意图】城市生活场景，引出“连续”条件重要性。

【教学建议】让学生用手势模拟“连续变化”与“跳跃变化”，形成动作记忆。

探究点1：零点与方程解的关系

若函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且f(

问题1观察下列三组方程与函数：

方程

函数

x2－2x－3＝0

y＝x2－2x－3

x2－2x＋1＝0

y＝x2－2x＋1

x2－2x＋3＝0

y＝x2－2x＋3

利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系．

提示方程x2－2x－3＝0的根为－1,3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1,0)，(3,0)；

x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1,0)；

x2－2x＋3＝0没有实数根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点．

问题2问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？

提示不是，零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标．

1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：

注意点：

(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标．

(2)求零点可转化为求对应方程的解．

(3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解．

与二次函数的零点一样