2026高一数学同步4.3 4.3.2 对数的运算 （导学案）（解析版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

PAGE

PAGE1

好好学习

4.34.3.2对数的运算

导学案

1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．

2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

3.掌握换底公式及其推论．

4.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

教学重点：1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.能用换底公式进行求值、化简．

教学难点：1.理解和掌握对数的性质2.掌握对数式与指数式的关系,学会对数式与指数式的互化

知识点一对数运算性质

如果a0，且a≠1，M0，N0，那么

(1)loga(MN)＝eq\x(\s\up1(01))logaM＋logaN；

(2)logaeq\f(M,N)＝eq\x(\s\up1(02))logaM－logaN；

(3)logaMn＝eq\x(\s\up1(03))nlogaM(n∈R)．

[拓展]推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(a0，且a≠1，Nk＞0，k∈N＋)．

知识点二换底公式

(1)对数的换底公式：eq\x(\s\up1(01))logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，且a≠1；b0；c0，且c≠1)．

(2)三个较为常用的推论

①logab·logbc·logca＝eq\x(\s\up1(02))1(a0，b0，c0，且均不为1)；

②logab＝eq\f(1,logba)(a0，b0，且均不为1)；

③logambn＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(n,m)logab(a0，b0，且a≠1，m≠0)．

[点拨](1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义．

(2)在具体运算中，习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝eq\f(lgb,lga)或logab＝eq\f(lnb,lna).

导入1：手机电量焦虑

【情境】“我的充电宝标称容量是20000mAh，但给3000mAh的手机充电时，只能充4次就没电了，是不是虚标？”

【追问】若充电宝实际容量为标称的80%，每次充电损耗5%，如何计算真实充电次数？（引出：log?.??0.8的求解需求）

【设计意图】用“电量焦虑”引发共鸣，揭示“非整数指数”问题的普遍性及换底公式的必要性。

导入2：银行存款的“复利翻倍”

情景描述

小张的妈妈将1万元存入银行，选择“复利计息”方式（即每年利息计入下一年本金），年利率为3%。银行工作人员告知：“按照这个利率，本金翻倍需要一定年限”，妈妈想知道大约需要存多少年，本金才能从1万元变成2万元。

追问设计

复利计息下，本金P与存款年限t的关系为P=10000×(1+0.03)t。若本金翻倍（即

尝试用“试值法”估算t的范围（比如t=23时，1.0323≈1.973；t=24

若想精准计算t的值，是否需要新的数学工具？结合对数的定义，思考如何用对数表示t，并尝试用常用对数（以10为底）计算t的近似值。

设计意图

生活实用性：银行存款、复利计息与家庭财务相关，学生能感知数学在“理财计算”中的实际作用，增强学习主动性。

认知冲突：学生能列出指数方程，但无法直接求解指数t，试值法也只能得到近似范围，自然产生对“对数工具”的需求，契合本节课“对数运算解决指数求解问题”的核心目标。

探究点1：对数的运算性质

同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手指开始，逐渐积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、数字及计数用具，如算盘、计算器等．从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起到了重要作一、对数的运算性质

问题1将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)?

提示由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.

由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN)．

从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a0，且a≠1，M0，N0)．

问题2结合问题1，若eq\f(M,N)＝eq\f(ap,aq)＝ap－q，又能得到什么结论？

提示将指数式eq\f(M,N)＝ap－q化为对数式，得

logaeq\f(M,N)＝p－q＝logaM－logaN(a0，且a≠1，M0，N0)．

问题3结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？

提示由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R