2026高一数学同步4.3.2 对数的运算（教学设计） 数学人教A版2019必修第一册.docxVIP

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好好学习

4.34.3.2对数的运算教学设计

教学内容

本节课是“指数函数与对数函数”章节中4.3.2节《对数的运算》的第二课时，聚焦对数换底公式的推导、证明、应用及其在实际问题中的建模价值。内容包括：

换底公式的来源与证明；

换底公式的三类应用（求值、化简、建模）；

实际情境中的对数运算（地震能量、GDP增长、半衰期等）。

本节课围绕“对数的运算性质与换底公式”展开。通过类比指数运算法则、创设“简化大数运算”的真实需求，引导学生自主发现并证明积、商、幂的对数运算性质，掌握换底公式及其在化简、求值、建模中的应用。

内容解析

知识地位：本节是“对数概念”的自然延伸，也是后续学习对数函数、解指数方程、数列极限、微积分的基础工具。

思想方法：

降级思想：把高一级运算（乘、除、幂）降为低一级运算（加、减、乘）。

类比迁移：由指数运算法则类比推导对数运算法则。

转化与化归：将不同底、复杂指数式通过换底公式统一处理。

育人价值：

通过“对数节省天文学家寿命”的历史故事，体会数学的实用价值。

在地震能量、GDP倍增、酒驾衰减等情境中，感受数学建模的社会意义。

教学目标

经历利用指数与对数的关系，推导对数运算性质、换底公式等的过程，体会对数运算的降级特征，能初步用于解决问题，提升数学运算核心素养.

目标解析

1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．

2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

3.掌握换底公式及其推论．

4.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

达成上述目标的标志是：

看到log?6?+?log?3能在5秒内写出log?18

面对log?7能用换底公式在3步内转化为lg7?/?lg5

在“GDP翻两番”?“地震能量比”等情境中能独立列出对数方程并求解

对数是一个全新的概念,要探究并发现其运算性质,对学生来说,是有一定难度的.但通过前面对指数幂的运算性质的学习,以及对数式与指数式的相互转化,学生可以对简单的对数进行运算,也可以推导出对数的运算性质.在教师设计合理的引导过程的基础上,学生可以自主地完成对对数运算性质的发现、推导、证明、应用.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.能用换底公式进行求值、化简．教学难点：1.理解和掌握对数的性质2.掌握对数式与指数式的关系,学会对数式与指数式的互化

知识点一对数运算性质

如果a0，且a≠1，M0，N0，那么

(1)loga(MN)＝eq\x(\s\up1(01))logaM＋logaN；

(2)logaeq\f(M,N)＝eq\x(\s\up1(02))logaM－logaN；

(3)logaMn＝eq\x(\s\up1(03))nlogaM(n∈R)．

[拓展]推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(a0，且a≠1，Nk＞0，k∈N＋)．

知识点二换底公式

(1)对数的换底公式：eq\x(\s\up1(01))logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，且a≠1；b0；c0，且c≠1)．

(2)三个较为常用的推论

①logab·logbc·logca＝eq\x(\s\up1(02))1(a0，b0，c0，且均不为1)；

②logab＝eq\f(1,logba)(a0，b0，且均不为1)；

③logambn＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(n,m)logab(a0，b0，且a≠1，m≠0)．

[点拨](1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义．

(2)在具体运算中，习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝eq\f(lgb,lga)或logab＝eq\f(lnb,lna).

导入1：手机电量焦虑

【情境】“我的充电宝标称容量是20000mAh，但给3000mAh的手机充电时，只能充4次就没电了，是不是虚标？”

【追问】若充电宝实际容量为标称的80%，每次充电损耗5%，如何计算真实充电次数？（引出：log?.??0.8的求解需求）

【设计意图】用“电量焦虑”引发共鸣，揭示“非整数指数”问题的普遍性及换底公式的必要性。

导入2：银行存款的“复利翻倍”

情景描述

小张的妈妈将1万元存入银行，选择“复利计息”方式（即每年利息计入下一年本金），年利率为3%。银行工作人员告知：“按照这个利率，本金翻倍需要一定年限”，妈妈想知道大约需要存多少年，本金才能从1万元变成2万元。

追问设计

复利计息下，本金P与存款年限t的关系为P=10000×(1+0.03)t。若本金翻倍（即

尝试用“试值法”估算t的范围（比如t=23时