2026高一数学同步4.5.1 函数的零点与方程的解 （导学案）（原卷版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.5.1函数的零点与方程的解

导学案

(1)理解函数零点的概念，能准确表述方程的解、函数零点与函数图象和x轴交点的关系。

(2)掌握函数零点存在定理，能运用定理判断函数在给定区间内是否存在零点。

(3)能结合函数单调性和图象判断函数零点的个数，提升数形结合能力。

(4)体会“函数与方程”的转化思想，发展逻辑推理和数学抽象素养。

教学重点

函数零点的概念及函数零点与方程解的关系。

函数零点存在定理的理解与应用（判断零点所在区间）。

教学难点

理解“函数零点是实数而非点”。

函数零点存在定理的条件分析（如不连续函数或端点函数值同号时定理不成立）。

结合函数单调性判断零点个数。

知识点一函数零点的概念

对于一般函数y＝f(x)，我们把叫做函数y＝f(x)的零点．

函数y＝f(x)的就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的．

知识点二方程的解与函数零点的关系

方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)?函数y＝f(x)的图象与x轴．

知识点三函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条的曲线，且有，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

[想一想]若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则一定有f(a)f(b)＜0吗？

导入1电梯里的“零点”

教师描述：早高峰电梯从1楼到10楼，若把“超载报警”看作函数值由负变正，那么一定存在某一楼层，电梯刚好达到满载——这就是连续变化中的“零点”。请思考：若电梯在某层突然停顿检修（不连续），还会保证一定出现“刚好满载”吗？

导入2共享单车调度

调度员发现：上午8:00A站点空位率为–20%（缺车），9:00变为+15%（多余）。假设调度是连续进行的，那么8:00–9:00之间必有一刻空位率恰为0%。如果调度系统故障导致瞬间大批量调走车辆（函数跳跃），结论还成立吗？

探究点1：零点与方程解的关系

若函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且f(

问题1观察下列三组方程与函数：

方程

函数

x2－2x－3＝0

y＝x2－2x－3

x2－2x＋1＝0

y＝x2－2x＋1

x2－2x＋3＝0

y＝x2－2x＋3

利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系．

提示方程x2－2x－3＝0的根为－1,3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1,0)，(3,0)；

x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1,0)；

x2－2x＋3＝0没有实数根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点．

问题2问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？

提示不是，零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标．

1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：

注意点：

(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标．

(2)求零点可转化为求对应方程的解．

(3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解．

与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点（）．

这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以

方程有实数解

函数有零点

函数的图象与轴有公共点．

由此可知，求方程的实数解，就是确定函数的零点．一般地，对于不能用公式求解的方程，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解．

探究点2：零点存在定理

下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手．

探究

对于二次函数，观察它的图象（图4.5-1），发现它在区间上有零点．这时，函数图象与轴有什么关系？在区间上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数的取值规律来刻画这种关系？

再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与轴的关系，并探究用的取值刻画这种关系的方法．

可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”轴．函数在端点和的取值异号，即，函数在区间内有零点，它是方程的一个根．同样地，，函数在内有零点，它是方程的另一个根．

一般地，我们有：

函数零点存在定理如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有