2026高一数学同步4.4 4.4.1 对数函数的概念（导学案）（原卷版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.44.4.1对数函数的概念导学案

(1)通过实际问题（如碳14衰变时间与含量的关系）抽象出对数函数的概念，能准确表述对数函数的定义及定义域。

(2)理解对数函数与指数函数的互逆关系，能举例说明“指数函数的反函数是对数函数”。

(3)能求与对数函数相关的复合函数的定义域（如y=

(4)能运用对数函数解决简单的实际问题（如计算物价翻番时间），体会数学建模思想。

教学重点：对数函数的概念；

教学难点：指数函数与对数函数的关系及互相推导.

知识点对数函数

一般地，函数叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是．

[点拨]两种特殊的对数函数

(1)常用对数函数：y＝lgx.

(2)自然对数函数：y＝lnx.

情境1：奶茶的价格好像每隔一段时间就涨一次

“同学们，你们有没有注意到，奶茶的价格好像每隔一段时间就涨一次？假设学校门口的奶茶店今年定价12元，并且商家说‘每过18个月就涨一半价’。

①如果想喝到24元一杯的‘天价奶茶’，我们得等多久？

②反过来，5年后我们手里的50元还能买到几杯？”

情境2：成长场景

“大家手机里都装了学习APP，它后台会记录每日使用时长。假设APP统计显示，本周你每天平均学习时间为30分钟，如果平台希望你的日均时长‘翻一番’到60分钟，按照‘每周比上周多10%’的增长速度，大约需要连续坚持多少周？

反过来，若老师设定目标——30天后日均时长自然提升到90分钟，这种增长速度对应的每周增长率又是多少？”

探究点1：对数函数的定义

通过前面的学习，我们知道了“对数源出于指数”，然而对数的发明先于指数，对数的出现是基于当时天文、航海等发展的需要，大家知道，我国在探索太空、大洋等方面取得了很大的成就，比如2020年11月24日，我国成功发射嫦娥五号探测器，12月17日凌晨嫦娥五号携带月球土壤样品安全着陆，大家知道吗？指挥本次月球探索的是一位24岁的小姑娘，同学们好好学习吧，说不定下一个指挥探索别的星球的人就是你哦．

在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．思考

在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？

根据指数与对数的关系，由得到．如图4.4-1，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有且只有一个交点．这就说明，对于任意一个，通过对应关系，在上都有唯一确定的数和它对应，所以也是的函数．也就是说，函数刻画了时间随碳14含量的衰减而变化的规律．

同样地，根据指数与对数的关系，由，且可以得到，且，也是的函数．通常，我们用表示自变量，表示函数．为此，将，且中的字母和对调，写成，且．

一般地，函数，且叫做对数函数（logarithmicfunction），其中是自变量，定义域是．

探究点2：对数函数的简单应用

典例分析

例1求下列函数的定义域：

（1）；

（2），且．

【变式1】求下列函数的定义域：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

例2假设某地初始物价为1，每年以的增长率递增，经过年后的物价为．

（1）该地的物价经过几年后会翻一番？

（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．

物价x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

年数y

0

【变式2】某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．

(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；

(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

1.（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（????）

A． B．

C． D．

2.（多选题）（22-23高一·全国·课堂例题）下列函数中为对数函数的是（????）

A． B．

C． D．（是常数）

3.（20-21高一上·吉林长春·阶段练习）若函数为对数函数，则（）

A． B． C． D．

4.（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（???）

A．0 B．1 C．2 D．3

5.设（且），若，则（????）.

A．2 B． C． D．

6.（2020高三下·全国·专题练习）设，则的值是（????）

A．1 B．e C． D．

7.（多选题