2026高一数学同步4.5 4.5.3 函数模型的应用（导学案）（解析版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.5函数的应用（二）4.5.3函数模型的应用

导学案

(1)能识别常见函数模型（一次、二次、指数型、对数型）的特征，说出其适用场景。

(2)能按“审题→建模→求解→验证”步骤建立函数模型解决实际问题（如人口预测、投资决策）。

(3)能通过散点图或数据趋势选择合适模型，并用计算工具求解参数，验证模型合理性。

(4)体会数学建模的严谨性，发展数据分析和数学建模素养。

教学重点:1.识别不同函数模型的特征，根据实际问题选择合适模型;2.掌握建立函数模型解决实际问题的步骤（审题→建模→求解→验证）。

教学难点：1.从实际问题中抽象出变量关系，确定函数模型的类型;2.模型参数的确定及结果的实际意义解释（如增长率、衰减率的合理性）。

导入1：奶茶店的“甜蜜陷阱”

【情境】某奶茶店推出“第二杯半价”活动，小明发现：买1杯花15元，买2杯花22.5元，买3杯花30元……他惊呼：“买得越多越划算！”

【追问】“划算”的规律是线性的吗？若每天销量翻倍，5天后日收入会爆炸式增长吗？

【设计意图】用消费场景引出“线性vs指数”的认知冲突，暗示模型选择的重要性。

【教学建议】让学生计算前5天的收入，对比线性模型（y=15x）与指数模型（y=15×2??1）的差异。

导入2：考古学家的“穿越密码”

【情境】展示良渚古城碳14检测报告：“草茎遗存碳14剩余量55.2%”。

【追问】如何从55.2%推断出“公元前2902年”？这里藏着什么数学秘密？

【设计意图】以考古悬念激发兴趣，自然过渡到指数衰减模型。

【教学建议】让学生猜测“半衰期”的含义，再揭示数学模型（y=0.5^(t/5730)）。

问题串引入：

展示三组数据：

①某工厂月产量：100,200,300,400...（均匀增长）；

②某病毒感染人数：1,2,4,8,16...（快速增长）；

③某学生单词记忆量：5,8,10,11,12...（增长趋缓）。

提问：“分别适合用什么函数模型刻画？”（一次函数、指数函数、对数函数）。

引出主题：“如何选择和应用函数模型解决实际问题？”导入本节课。

设计意图：通过直观数据对比，让学生初步感知不同模型的增长特征，为模型选择铺垫。

阅读课本148-150页，思考并完成以下问题

1.常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？

2.解决实际问题的基本过程是什么？

我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？

问题1应用函数模型解决问题的基本过程是什么？

提示(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．

(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．

(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．

(4)还原——将数学结论还原为实际问题．

常见的几种函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

反比例函数模型

f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)

二次函数模型

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数型函数模型

f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)

对数型函数模型

f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)

幂函数型模型

f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？

例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T．R．Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型

，

其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率．

尽管对马尔萨新人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响．上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？

表4.5-4是1950~1959年我国的人口数据资料：

表4.5-4

年份

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

1959

人口数/万

55196

56300

57482

58796

60266

61456

62828

64563

65994

67207

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这