2026年高考数学一轮总复习考点规范练23利用导数研究函数的零点.docxVIP

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课时规范练23利用导数研究函数的零点

1.(13分)(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=(x-1)2ex-ax,且曲线y=f(x)在点(0,f(x))处的切线方程为y=-2x+b.

(1)求实数a,b的值;

(2)证明:函数f(x)有两个零点.

2.(13分)(2024·宁夏固原一模)已知函数f(x)=ax(lnx+1)+1(a0).

(1)求f(x)的最小值;

(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.

3.(15分)(2024·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=x3-alnx.

(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;

(2)函数f(x)在区间(1,e]上存在两个不同的零点,求实数a的取值范围.

4.(15分)(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)=lnx+1,g(x)=ax2(a0).

(1)当a=2时,求y=f(x)-g(x)的极值;

(2)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在2条公切线,求实数a的取值范围.

课时规范练23利用导数研究函数的零点

1.(1)解:由题意可得f(x)=(x2-1)ex-a,由切线方程可知其斜率为-2,

所以f(0

(2)证明:由f(x)=0可得(x-1)2ex-x=0,所以(x-1)2-xex=

函数f(x)有两个零点即函数g(x)=(x-1)2-xex

由于g(x)=(x-1)(2+1e

所以当x1时,g(x)0,g(x)单调递减;当x1时,g(x)0,g(x)单调递增.

又g(0)=10,g(1)=-1e0,g(2)=1-2e

所以g(0)g(1)0,g(1)g(2)0.

由零点存在定理可得?x1∈(0,1),使得g(x1)=0,?x2∈(1,2),使得g(x2)=0,

所以函数f(x)有两个零点.

2.解:(1)f(x)=a(lnx+1)+ax·1x=a(lnx+2)(a

当f(x)0时,lnx+20,则xe-2,所以f(x)在区间(e-2,+∞)上单调递增;

当f(x)0时,lnx+20,则0xe-2,所以f(x)在区间(0,e-2)上单调递减.

因此f(x)在x=e-2处取最小值,且ymin=f(e-2)=1-ae-2.

(2)由(1)知ymin=f(e-2)=1-ae-2,由于f(x)有两个零点,

且当x→0时,f(x)=ax(lnx+1)+1→1,当x→+∞时,f(x)=ax(lnx+1)+1→+∞,所以应有1-ae-20,即ae-21,解得ae2.故实数a的取值范围为(e2,+∞).

3.解:(1)当a=1时,f(x)=x3-lnx,定义域为(0,+∞),f(x)=3x2-1x=3x3-1x.当0x133时,f(x)0,f(x)在(0,133)内单调递减;当x133时,f(x)

所以f(x)的极小值为f(133)=1+ln33,f(x

(2)因为函数f(x)在区间(1,e]上存在两个不同零点,所以f(x)=x3-alnx=0,即a=x3lnx在区间

设h(x)=x3lnx,即函数y=a的图象与函数h(x)=x3lnx图象有两个不同的交点,因为h(x)=3x2·lnx-

所以当x∈(1,3e)时,h(x)0,函数h(x)在(1,3e)

当x∈(3e,e]时,h(x)0,函数h(x)在(3e,e]上单调递增,则h(x)min=h(3e)=3e,而h(e127)=e327lne127=27e1927,且h(e)=e327,要使函数y=a的图象与函数h

4.解:(1)当a=2时,设h(x)=f(x)-g(x)=lnx+1-2x2,显然x0,h(x)=1x-4x=1-4x2x=(1+2x)(1-2x)x,由h(x)=0得x=12,当x∈(0,12)时,h(x)0,h(x)单调递增;当x∈(

所以h(x)在x=12处取得极大值h(12)=ln12+12

(2)设曲线y=f(x)上的切点A(x0,y0),f(x)=1x,x0,则切线斜率为1x0,方程为y-y0=1x0

因为切线y=1x0x+lnx0与曲线y=ax2相切,于是方程ax2=1x0x+lnx0有两个相等的正实数根,而a0,则Δ=1x02+4alnx0=0,且lnx00,即有

由于公切线有两条,所以关于x0的方程-14a=x02

令φ(x)=x2lnx,x0,则y=-14a与y=x2lnx

由φ(x)=x2lnx,x0,得φ(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1),x0,由φ(x)=0,得x=1e

当x∈(0,1e)时,φ(x)0,φ(x)单调递减;当x∈(1e,+∞时,φ(x)0,φ(x)

因此φ(x)min=φ(1e)=-12e,φ(1)=0,作出函数y=φ(x)的图象(

观察图象知,当-12e-14a0,即ae2时,直线y=-