2026年高考数学一轮总复习考点规范练31解三角形的实际应用.docxVIP

PAGE1

课时规范练31解三角形的实际应用

(单选题每小题5分,填空题每小题5分)

1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的()

A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10°

2.(2025·安徽黄山期中)某中学“数学与生活”兴趣小组成员在研学过程中,发现研学地的河对岸有一古塔(如图),于是提出如何利用数学知识了解塔高AB的问题.其中同学甲提出如下思路:选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=24m,并在点C处测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB约为()(取2≈1.4,3≈1.7)

A.50.4m B.16.8m

C.40.8m D.28.56m

3.(2024·河南驻马店模拟)如图,某景区为方便游客,计划在两个山头M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离,施工单位测得以下数据:两个山头的海拔高度MC=1003m,NB=502m,在BC同一水平面上选一点A,测得M点的仰角为60°,N点的仰角为30°,以及∠MAN=45°,则M,N间的距离为()

A.1002m B.120m C.1003m D.200m

4.(2024·宁夏银川模拟)某社区为了美化社区环境,欲建一块休闲草坪,其形状为如图所示的四边形ABCD,AB=23,BC=4(单位:百米),CD=AD,∠ADC=π3,且拟在A,C两点间修建一条笔直的小路(路的宽度忽略不计),则当草坪ABCD的面积最大时,AC=(

A.27百米 B.210百米 C.213百米 D.219百米

5.(2025·江苏南通模拟)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国的一部测量学著作.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°,且BC=100m,则该球体建筑物的高度约为()(cos10°≈0.985)

A.49.25m B.50.76m C.56.74m D.58.60m

6.(2024·江苏南京六校联考)如图,为测量某塔的总高度AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=30°,∠BDC=45°,CD=30米,在C点测得塔顶A的仰角为60°,则塔的总高度约为()(参考数据:2≈1.4,3≈1.7)

A.13米

B.24米

C.39米

D.45米

7.(2025·北京昌平期中)如图,在某个海域,一艘渔船以60海里/时的速度,沿方位角为150°的方向航行,行至A处发现一个小岛C在其东偏南15°方向,半小时后到达B处,发现小岛C在其东北方向,则B处离小岛C的距离为海里.?

8.(15分)(2024·福建南平模拟)某轮船以v海里/时的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东60°,轮船从A处向北航行30分钟后到达B处,测得油井P在南偏东15°,且BP=103海里.轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C点.

(1)求轮船的速度v;

(2)求P,C两点的距离.

9.(15分)(2025·安徽合肥模拟)如图,某人开车在山脚下水平公路上自A向B行驶,在A处测得山顶P处的仰角∠PAO=30°,该车以45km/h的速度匀速行驶4分钟后,到达B处,此时测得仰角∠PBO=45°,且cos∠AOB=-33

(1)求此山的高OP;

(2)求该车从A到B行驶过程中观测点P的仰角正切值的最大值.

课时规范练31解三角形的实际应用

1.B解析:灯塔A,B的相对位置如图所示,

由已知得∠ACB=80°,∠CAB=∠CBA=50°,则α=60°-50°=10°,即灯塔A在灯塔B的北偏西10°.故选B.

2.D解析:由∠BCD=15°,∠BDC=30°,则∠DBC=180°-30°-15°=135°,则BCsin30°=CDsin135°,即BC=2422×12=122.由题意可得∠ACB=60°,∠ABC=90°,故AB=BCtan60°=122×3≈12×1.

3.A解析:由题意,可得∠MAC=60°,∠NAB=30°,MC=1003,NB=502,∠MAN=45°,且∠MCA=∠NBA=90°.

在Rt△ACM中,可得AM=MCsin60°=200.在Rt△ABN中,可得AN=NBsin30

在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN=20000,所以MN=1002m.

4.C解析:设∠ABC=θ,0θπ,在△ABC中,AC2=42+(23)2-