【2022高中数学一轮复习】专题4.8—导数大题（极值与极值点问题）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.8—导数大题（极值与极值点问题） 1．已知函数，其中为常数． （1）若曲线在处的切线在轴上的截距为2，求之值； （2）若有两个极值点，，求的取值范围，并比较与的大小． 解：（1），定义域是， ，故，又， 故切线方程为：，即， 由切线在轴上的截距为2，得，解得：； （2）， 设函数， 由题意得：，是在区间内的两个变号零点， 于是，解得：， 故所求的取值范围是， 由，且在区间，内递减，故， 由得，于是， 又，故， 设函数，则， 故在递增，故（1），故， 结合，得， 故． 2．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，若有两个不同的极值点，，且恒成立，求实数的取值范围． 解（1）因为数，所以． 当时，因为， 所以，此时函数的单调递增区间为． 当时，令， 解得． 当时，，当时，． 此时，的单调递增区间为，的单调递减区间为． 综上所述：当时，函数的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为． （2）因为， 所以． 依题意，，解得． 因为和是的极值点，所以， 则． 所以， ， ． 所以，由， 可得①， 因为，， 所以①等价于． 令， 则，， 由于， 所以， 所以在单调递增，且（4）． 所以，（a）． 所以的取值范围是． 3．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）令，若是函数的极小值点，求实数的取值范围． 解：（1）函数的定义域， ， ①当时，令，可得， 此时函数的增区间为，减区间为； ②当时，， 此时函数单调递增，增区间为，没有减区间； ③当时，令，有或， 可得函数的增区间为，，减区间为； 综上：时，函数的增区间为，减区间为， 时，函数的增区间为，，减区间为， 时，函数单调递增，增区间为，没有减区间． （2）由，有， 由（1），令，有， 令，可得， 可得函数的增区间为，减区间为， ①当时，，由（1），可知当时，， 当时，，可得函数在区间单调递减，在区间单调递增， 此时是函数的极小值点，符合题意； ②当时，，此时（1），函数单调递增，没有极值点，不合题意； ③当时，由（1）， 可知当时，，当时，， 可得函数在区间单调递增，在区间单调递减； 此时是函数的极大值点，不符合题意； 故若是函数的极小值点，则实数的取值范围为． 4．已知函数，其中，，． （Ⅰ）当时，求函数的值域； （Ⅱ）若函数在，上有唯一的极值点，求的取值范围． 解：（Ⅰ）当时，，则， 设，则， ，，，，在，上单调递增， ，即，在，上单调递增， 又，，故函数的值域是，． （Ⅱ），， 设，则， （1）当时，，则在，上单调递减， ，即，在，上单调递减，无极值； （2）当时，，则在，上单调递增， ，即，在，上单调递增，无极值； （3）当时，存在，使， 当时，，当，时，， 在递减，在，递增， ，，又， ①当即时，， ，在，上递减，无极值； ②当即时，， 则存在，，使得， 当时，，即， 当，时，，即， 在递减，在，递增， 是函数在，上的极小值点，且为唯一的极值点， 综上：实数的取值范围是，． 5．已知，，，为自然对数的底数，． （Ⅰ）当时，若函数与直线相切于点，求，的值； （Ⅱ）当时，若对任意的正实数，有且只有一个极值点，求负实数的取值范围． 解：（Ⅰ）当时，，则， 依题意，，解得； （Ⅱ）当时，，则， 令，则， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， （2）， ①当时，，在上单调递增，即在上单调递增， 在上有唯一解，此时有且只有一个极值点； ②当时，此时有两个不等实数根，， 由于，则，则在，，单调递增，在，单调递减， 要使只有一个变号零点，只需或， 先考虑，， 令，则， 易知在单调递增，故（2）， 要使恒成立，只需（2），即； 再考虑，，由于在单调递减， 同理可得，不可能恒成立． 综上，的取值范围为，． 6．已知函数． （1）判断函数在上的单调性； （2）证明函数在内存在唯一的极值点，且． 解：（1）由于，得， 设，其导函数， 在区间上，，单调递减，且， 所以在区间上，，从而函数在上的单调递减； （2）证明：由第（1）问， 在区间上，，单调递增，且，， 所以存在唯一的，使得， 在区间上，，单调递减， 在区间，上，，单调递增， 所以为函数在上的唯一极小值， 其中，， 所以，且，， 由于，故．