【2022高中数学一轮复习】专题4.12—导数大题（零点个数问题1）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.12—导数大题（零点个数问题1） 1．已知，其中为实数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）当时，判断函数在上零点的个数，并给出证明． 解：（1）在上单调递增， 在恒成立，即， ，即， 令，， 当时，，，， 所以，所以在上单调递增， 则在上单调递减， 所以， ，即的取值范围是，． （2），则，， 令，则， ①当时，恒成立， 在上单调递减， 又， 在上有一解，且时，，当，时，， 在上单调递增，在，上单调递减， 又， 在上有1个零点； ②当时，，则是一个零点； ③当时，令，则， 又在上均单调递增，则在上均单调递增， 又， 在上有一解，且当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 在上有一解，且时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，， 在上恒成立， 此时在上无解； ④当时，在上恒成立， 在上单调递增， 又，， 在上有一个零点； 综上，在上有三个零点 2．已知函数． （1）当时，求在，上的单调区间； （2）当时，讨论在，上的零点个数． 解：（1）当时，，，， ， 当在区间，上变化时，，的变化如下表： 0 0 0 0 增 极大值 减 极小值1 增 极大值 减 的单调增区间为，，的单调减区间为，． （2），，， 当时，在，上恒成立， ，时，， 在，上单调递增， 又，在，上没有零点； 当时，令，得， 由可知存在唯一使得， 当，时，，单调递增， 当，时，，单调递减， ，，， ①当，即时，在，上没有零点， ②当，即时，在，上有1个零点， 综上，当时，有1个零点，当时，没有零点． 3．已知函数． （1）若函数的极小值为，求的值； （2）当时，求函数在上的零点个数． 解：（1），由于函数存在极小值，显然， 且易知此时函数在处取得极小值， ，即，解得， 经检验，符合题意； （2）当时，，则，，， 当时，恒成立，则在上单调递增， 又，（2），故存在唯一的，使得， 且当时，，单调递减，当，时，，单调递增， 又，则，故在存在一个零点； 又（3），由零点存在性定理可知，在，存在一个零点； 综上，在上有两个零点． 4．已知函数（其中，是自然对数的底数）． （1）若在点，处的切线方程为，求，； （2）若，函数恰好有两个零点，求实数的取值范围． 解：（1）函数（其中，是自然对数的底数）． ，（2分） 在点，处的切线方程为， 所以，解得，．（4分） （2），（6分） 问题等价于的图象和直线恰好有2个交点，求的取值范围． 令，则．令， 则，在上单调递减．又， 当时，，，在上单调递增． 当时，，，在上单调递减， 的极大值即最大值为（18分） 当，时，，：当时，，（10分） 当时，的图象和直线恰好有2个交点， 函数恰好有两个零点．（12分） 5．已知函数，且． （1）求实数的值，并判断在上的单调性； （2）对确定的，求在，上的零点个数． 解：（1）的定义域为，， 所以，所以， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减， 又，所以当时，， 所以在上单调递增． （2），， 因为在，上单调递增， 在，上单调递增， 所以在，上单调递增， 又， ， 由零点存在定理及的单调性，知存在唯一的，，使得， 从而当，时，，单调递减， 当，时，，单调递增， ， 在，上的最小值， ， 由零点存在定理及的单调性，知存在唯一的，，使得， 从而当，时，，单调递减， 当，时，，单调递增， ， ， 在，上的最小值， 由零点存在定理及的单调性，知在，上有且仅有一个零点． 6．已知函数． （1）证明：上，有唯一的极小值点，且； （2）讨论函数零点个数． 解：（1）证明：令， 则， 当时，，单调递增， （2），（3）， 所以在上，有唯一的极小值点，且． （2）在上，，为减函数， 且，， 所以存在，， 所以在上，， 在，上，， 在上，，为增函数， 由（1）知，存在上，， 所以在上，， 在，上，， 所以上，，无零点， 在，上，，为减函数， 又，且， 所以只有一个零点为0， 在，上，为增函数，， 所以， 所以在，上，仅有一个零点， 综上所述，零点个数为2．