【2022高中数学一轮复习】专题4.15—导数大题（构造函数证明不等式2）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.15—导数大题（构造函数证明不等式2） 1．已知函数（其中，为自然对数的底数）． （1）若函数无极值，求实数的取值范围； （2）当时，证明：． （1）解：， 函数是上的单调函数， 在上恒成立，即在时恒成立， 或在上恒成立，即在时恒成立， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增， 则，无最大值，故在上恒成立， 在上单调递增， 实数的取值范围是，； （2）证明：由（Ⅰ）可知，当时，当时，，即， 欲证，只需证， 即证即可， 构造函数， 则恒成立， 故在单调递增， 从而， 即，亦即， 故． 法二：问题转化为证明，即， 令，原不等式等价于， ，令，，递减， ，，递减， 又，故， 故原结论成立． 2．设函数． （1）求函数的极值； （2）若方程在有两个实数解，求的取值范围； （3）证明：当时，． 解：（1）由，定义域是， ，令，解得：，令，解得：， 故在递增，在递减， 故是函数的极大值点， 则函数的极值为； （2）由（1）知在，上单调递增，在，上单调递减， 又，（1），， （1）， 当，时，方程有2个解； （3）要证：， 只需证， 只需证， 设， 则， 由，导数， 可得在单调递减， 即时，有， ，所以， 即是上的减函数， 即当时，， 故原不等式成立． 3．已知函数． （Ⅰ）求的图象在点，（1）处的切线方程，并证明的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方； （Ⅱ）若函数，，，证明：． 解：（Ⅰ）由题意可得， （1），（1）， 所以的图像在点，（1）处的切线方程为， 设， 则， 令，得，单调递减， 令，得，单调递增， 所以（1）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的图像上除点外的所有点都在这条切线上方． （Ⅱ）证明：由题知，，，， 所以 ， 因为，，所以， 又由（1）知， 所以，（两个等号不能同时成立）， 所以， 所以在，上单调递增， 所以，得证． 4．已知函数． （Ⅰ）若，讨论函数的单调性； （Ⅱ）若，（其中是自然对数的底数），且，，求证：． 解：（Ⅰ）， ，定义域为， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当时，令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递； 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． （Ⅱ）令，， ，令，则， 即函数在上单调递增， ，即在上单调递增， ，即， 由（Ⅰ）知，当时，（1），即， 在上恒成立， 令， ， 综上所述， 5．已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求的值； （3）证明：． 解：（1）的定义域是，， 当时，恒成立，在单调递增， 当时，在单调递减，在单调递增， 综上：当时，在单调递增， 当时，在单调递减，在单调递增； （2）若，则， ，， 由（1）时，，则在单调递增， 故，即，， 故； （3）法一：要证，即证， 设，，， 令，则， 故函数单调递增，又，（1）， 故在，上存在唯一零点，即， 故当，，当，时，， 故函数在上单调递减，在，上单调递增， 故， 由，得， 故，即， 即． 法二： 原不等式等价于， 即， 令，易证， 故原不等式成立． 6．已知函数． （1）若在，上单调递增，求的取值范围； （2）证明：，，． 解：（1），则， 若在，上单调递增，则，即， 设，则， ，，在，单调递增， ， ，的取值范围是，； （2）证明：设，， 则，在，单调递增， ，， ，时，，时，， ，时，， 设， 则，， 在，递增，故， 故在，单调递增，故， 故，则， ， 问题转化为只需证， 即证， 设，， 则，， 故在，单调递增，， 故在，单调递增，， 故成立， 故：，，．