【2022高中数学一轮复习】专题4.16—导数大题（数列不等式的证明）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.16—导数大题（数列不等式的证明） 1．已知函数，即自然对数的底数）． （1）若函数在是单调减函数，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，当时，证明：． 解：（1）函数在是单调减函数， 在区间上恒成立． ，可得， 即实数的取值范围为，； （2）证明：由（1）得当时，在上单调递减， （1）， 可得，， 令，可得 分别取，2，3，，得， 即 可得，对任意的成立． 2．（1）若，判断函数在区间内的单调性； （2）证明：对任意，，． 解：（1）， ， ，又， ，且时，， 在区间内单调递增； （2）证明：由（1）知，当时，（1），即， ， 令，则，， 当， 令，， ，所以在单调递减， ， 即， ， 当，且时，， ， 对任意，， ． 3．已知函数的图象在处的切线斜率为． （Ⅰ）求证：时，； （Ⅱ）求证：． 证明：（Ⅰ）由，得， 由题意，，得， 故，， 令，可得在上单调递增， ，即， 在上单调递减，则， 则时，； （Ⅱ）当，时，， ，， 则， 由（1）知，时，， 令，，3，，， ， ，，，， 相加得：． 4．已知函数． （1）求函数的极值； （2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数的最大值； （ⅱ）证明：． 解：（1），， 当时，，函数在上单调递增，没有极值； 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增，此时函数的极小值，没有极大值； （2）当时，恒成立，即只要即可， 由（1）时，在上单调递减，在上单调递增， （a）若即时，在上单调递增，满足题意； （b）当即时，在上单调递减，在上单调递增，， 令，则， 所以在上单调递减，且（2），（3），（4）， 所以存在使得， 则的解集为， 综上的取值范围，其中， 所以正整数的最大值3； 证明：两边取对数得， 即只要证， 由知， 令，则， ， 所以． 5．已知函数． （1）若存在极值，求的取值范围； （2）证明：，，． 解：（1），时，，函数在上单调递减，不存在极值，舍去． 时，令，解得，又函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在，上单调递增， 函数在处取得极小值． 故的取值范围是． （2）证明：由（1）可知：时，函数在处取得极小值， 因此，当且仅当时取等号，即，． 取，则，即成立， （其中，，，，，2，，， 对不等式两边求和可得：，即 成立， 即成立， ，，． 6．设函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若的最小值为0，证明：． （1）解：函数的定义域为， ， ①当时，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； ②当时，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 故当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）证明：由（1）知，的最小值为（a），解得， 于是当且时，（1）， 下面用数学归纳法证明， ①当时，，不等式成立； ②假设时，不等式成立，即， 当时， ，不等式成立． 由①②得． 7．设函数，是函数的导函数． （1）讨论的单调性； （2）若（1）（1），证明：． 解：（1）的定义域是， ， ， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 即在单调递减，在单调递增； （2）证明：由（1）可知（1），（1）， ，解得：或（舍， ， 由（1）知：函数在上单调递减，在上单调递增， （1），即即对任意恒成立， 当且仅当时“”成立， 令，， 则， 整理得：， ， 即原不等式成立． 8．已知函数． （1）求的最小值； （2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值． 解：（1）， 当时，，故在单调递减， 当时，，在单调递增， 故（1），故的最小值为1； （2）由（1）可得，即， 所以，，， 则， 故， 所以， 又因为， 故对任意正整数，的整数的最小值为2．