【2022高中数学一轮复习】专题4.9—导数大题（双变量与极值点偏移问题1）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.9—导数大题（双变量与极值点偏移问题1） 1．已知函数在处的切线斜率为． （1）确定的值，并讨论函数的单调性； （2）设，若有两个不同零点，，且，证明：． （1）解：因为，，所以， 因为在处的切线斜率为， 所以（1），即， 所以， 令，△， 当△，即时，恒成立，即， 所以在上单调递增； 当△，即或时，令，可得， 当时，，，， 此时在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增； 当时，，， 当，，时，，即， 当，时，，即， 所以在，上单调递减，在和，上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递减，在和，上单调递增． （2）证明：， 由（1）得，即， 因为有两个不同零点，， 所以，即， ，即， ，即，， 所以， 因为，所以， 设，， 所以， 令， 所以， 所以为增函数，（3）， 即，所以（3）， 所以，即， 所以，所以， 因为，所以， 所以，得证． 2．已知，． （1）求在，（1）处的切线方程及极值； （2）若不等式对任意成立，求的最大整数解． （3）的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：． 解：（1），定义域是， ，（1），（1）， 故切线方程是：，即； ， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， （3），无极大值； （2）若不等式对任意成立， 则，， 令，则，在递增， 且（3），（4），故存在，使得，即， 故在递减，在，递增，且， 故的最大整数解为9； （3）证明：， ，得：， 当时，，，时，， 故在递减，在，递增， 而要使有2个零点，要满足， 即，解得：， ，，令，由， ，即， ，而要证， 只需证明，即证，即证， 由，，只需证明， 令，则， ， 故在递增，（1）， 故在递增，（1）， ． 3．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，，函数的唯一极小值点为，点，和，是曲线上不同两点，且，求证：． （1）的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由题意得，不妨设， 由，得， 即，且，所以， 要证，即证， 显然在上是增函数，故只需证，即证， 即证，即证， 又由于，故只需证，即证， 令，则，所以即证． 令，则，所以在上为减函数， 从而（1），即有，从而成立． 4．已知函数，，，其中，． （Ⅰ）当时，讨论函数的单调性； （Ⅱ）当时， （ⅰ）若，时，，求的取值范围； （ⅱ）直线与曲线相切于点，，与曲线相切于点，，证明：． 解：（Ⅰ）当时，，则， 当时，，在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 在单调递减，在单调递增； （Ⅱ）当时，， 若，时，，即， 设，则， 在，单调递增， ，则， 故实数的取值范围为，； 证明：依题意知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，由，知直线的斜率满足， 且， 点，与点，分别满足， 消去得，，即是方程的根， 设，，则是函数的零点，，设，则， 令，解得，令，解得， 在单调递增，在单调递减， （2），即， 在单调递减， 又， 函数在内有且仅有一个零点，于是，且随增大而增大，故． 5．已知函数，． （1）当时， ①求的极值； ②若对任意的都有，，求的最大值； （2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：． 解：（1）①时，，， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在，递增， 故的极小值是，没有极大值； ②对任意都有， 即恒成立，由，故，故， 由①知在，单调递增， 故，可得，即， 当时，的最小值是（e），故的最大值是； （2）证明：要证，只需证明即可， 由题意，是方程的两个不相等的实数根， ，，消去， 整理得：， 不妨设，令，则， 故只需证明当时，，即证明， 设，则， 于是在单调递增，从而（1）， 故，故． 6．设函数． （1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）当时，若在定义域内存在两实数，满足，且，证明：． 解：（1）的定义域是， ， 当时，，即在上递增，不合题意， 当时，令，解得：， 故时，，当，时，， 故在递增，在，递减， 故， 若存在，使得成立， 则， 即，即， 令，则， 在上单调递增， 又（1），， 即实数的取值范围是； （2）证明：当时，，则， 当时，，当时，， 在递增，在递减， 由且知， 令 ，， 则， 在递增，（1），即， ，又，， ，， 又且在递减， ，即．