【2022高中数学一轮复习】专题4.19—导数大题（与三角函数相结合的问题1）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.19—导数大题（与三角函数相结合的问题1） 1．设． （1）判断函数是否不单调，并加以证明； （2）试给出一个正整数，使得对恒成立，并说明理由． （参考数据：，， 解：（1）函数不单调，证明如下： 令，则，则，则， 因为，由，解得， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以函数不单调， 故函数不单调； （2）当时，可证明对恒成立， 当时，，，，不等式恒成立，符合题意； 当时，， 令， 则，则函数单调递减， 所以（1）， 所以，故不等式恒成立，符合题意； 当时，因为，故只需证， 即证明，只需证， 在（1）中，令，可得，即， 令，则，解得， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以当时，函数取得最小值（3），即（3）， 又， 故原不等式也成立，符合题意； 综上所述，当时，使得对恒成立． 2．已知． （1）求证：当时在上单调递增； （2）对于任意，证明：． 证明：（1）因为， 所以． 又，所以， 因为，设， 则， 而， 所以在单调递减， 故； 当时，此时，即在上单调递增； 当时，存在，使得在上单调递增，在上单调减， 又，此时，即在上单调递增； 综上可得，当，在上单调递增； （2）因为， 所以， 所以要证，， 即证明，， 令，则， 当时，，故函数单调递减， 当时，，故函数单调递增， 所以当时，取得最小值0， 所以，即， 又当时，令，则， 所以，即， 所以， 综上所述，任意，． 3．已知函数（其中为自然对数的底数），是函数的导函数． （1）求函数的单调区间； （2）设，如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）, 令,即,解得：, 令,即,解得：, 故在,递增，在,递减． , 故对于任意的，恒成立， 等价于恒成立， 即,令, 则, 由（1）的结论知在,上为增函数， ,, ①当,即时，恒成立， 故在,上递增，即,符合题意， ②当即时，恒成立， 故在,递减，即,不合题意， ③当时，存在,使得, 当时，,在递减， 当,时，,在,递增， 故,不合题意， 综上：实数的取值范围是，． 4．已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）证明：时，,, 设,则,令,解得：, 故在区间递减，在递增， 故的最小值是,即对任意恒成立， 故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）先证对任意,,, 令,,令,解得：, 故在区间递增，在递减， 故,故, 令,,, 令,解得：, 故在区间递减，在区间递增， 故,故,递增， 故,故,,, 对于任意,恒成立， ,故, 当时， , 即对于任意的，恒成立， 综上：的取值范围是． 5．已知函数，将的极小值点从小到大排列，形成的数列记为，，首项记为． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）证明：是单调递增数列； （Ⅲ）求的最小值． 解：（Ⅰ）证明：令，则， 令，在， 令，解得，令，解得，， 在，，单调递减，在，，单调递增， 又，，则在，，上有唯一零点且为的极大值点， 又，则在，，有唯一零点，且位于区间， 易知该零点为的极小值点，故； （Ⅱ）证明：令，又，则， 令，则， ， 又，即在上单调递减， ． （Ⅲ）由题意知的极小值中的最小的值即为的最小值， 又， ， 的最小值为． 6．已知函数，，其中． （1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集； （2）若，证明：当时，； （3）用，表示，中的最大值，设函数，，若在上恒成立，求实数的取值范围． 解：（1），（1分） 当时，，，， 当时，，，， 当时，，（2分） 所以当时，，即在上是增函数；（3分） 又（3），所以的解集为．（4分） （2）．（5分） 由，得，，，（6分） 则，即在上为增函数．（7分） 故，即．（8分） （3）由（1）知， 当时，恒成立，故恒成立； 当时，，因为，，要使得恒成立， 只要在上恒成立即可．（9分） 由，得． 设函数，，， 则．（10分） 令，得． 随着变化，与的变化情况如下表所示： 0 单调递增 极大值 单调递减 所以在上单调递增，在，上单调递减．（11分） 在上唯一的一个极大值，即极大值，故． 综上所述，所求实数的取值范围为，．（12分）