【2022高中数学一轮复习】专题4.10—导数大题（双变量与极值点偏移问题2）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.10—导数大题（双变量与极值点偏移问题2） 1．已知函数有两个极值点、． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若，求的最大值． （Ⅰ）解：函数的定义域为， 因为有两个极值点、， 故有两个解、， 令，则， 所以两个不同的正根， 则有△，且， 解得， 故的取值范围是； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，不妨设时， 则函数在和，上递增，在，上递减， 因为， 所以， 故， 则， 故只要证， 设， 则， 所以函数在上递增，在上递减， 故（4），故； （Ⅲ）解：根据韦达定理，可得， 所以 ， 所以， 因为，则令， 设，其中， 则， 所以函数在区间，上单调递减， 故当时，（3）， 所以的最大值是． 2．已知函数，． （1）当时，求函数的最小值； （2）若存在两个零点，，求的取值范围，并证明． 解：（1）当时，，则， 令，则， 在单调递增， 又，故存在唯一，使得，即，， 且当时，，，当，时，，， 在单调递减，在，单调递增， ； （2）， ①当时，，在上单调递增，至多有一个零点，不合题意； ②当时，当时，，单调递减，当时，，在上单调递增， 则，解得，注意此时， 当时，，此时，则在和分别存在一个零点； 当时，， 设（a），，则（a），（a）， （a）在单调递增，则（a）， （a）在单调递减，则（a），即， 此时，则在和分别存在一个零点； 综上，若有两个零点，则的取值范围为； 下证明， 不妨设，由得，， 两式相减得，， 两式相加得，， 要证，只需证，即证， 令，则， 在，单调递增，则（1）， 又，故等号不成立，即得证． 3．已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性： （2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值． 解：（1）函数的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令，则，设，则， 易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增， ， ，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； （2）依题意，，则， 两式相除得，，设，则，，， ， ， 设，则， 设，则， 在单调递增，则（1）， ，则在单调递增， 又，即，（3）， ，，即的最大值为3． 4．定义在上的函数在处取到极小值， （1）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）令，若函数的图象与轴有两个不同的交点，，，，且，求证：（其中是的导函数）． 解：（1）因为， 所以． 因为函数在处取到极小值，所以（2），解得． 此时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取到极小值． 所以符合题意，即． 若对任意的，，不等式恒成立， 即恒成立． 令， 则， 令， 则恒成立，所以在，上单调递增， 则（1），即在，上恒成立 所以在，上为减函数，（1）， 故实数的取值范围为． 证明：（2）由（1）得， 因为函数的图象与轴有两个不同的交点，，，， 所以方程的两个根为，，则，， 两式相减得， 又， 则． 下证：，即证明， 令， 因为， 所以， 即证明在时恒成立， 因为恒成立， 所以在是增函数， 则（1），从而明， 故成立， 故可得． 5．已知函数，为的导函数． （1）设，讨论函数的单调性； （2）若点，，，均在函数的图象上，设直线的斜率为，证明：． （1）解：， 则，，， 当，即时，恒成立，在上单调递增； 当，即时，由，可得， 当时，，当，，， 所以在上单调递增，在，上单调递减． 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在，上单调递减． （2）证明：， 由题意可得，要证， 只要证， 因为，故只要证， 令，则只需证， 令，则， 所以在上单调递增， 所以（1），即， 令，， 所以在上单调递减， 所以（1），即， 综上，，即． 6．已知函数． （1）证明：函数在内存在唯一零点； （2）若函数有两个不同零点，，且，当最小时，求此时的值． （1）证明：函数， 则，因为，，所以， 则在上单调递减， 又，，且函数的图象不间断， 故函数在内存在唯一零点； （2）解：由题意可知，， 所以， 令， 所以， 则有， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 则， 故在上单调递增， 要求的最小值，即求的最小值， 令， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又，，且的图象不间断， 所以存在唯一的使得，此时， 当时，，则单调递减， 时，，则单调递增，所以当时，有最小值， 故当最小时，，此时在和上各有唯一的零点．