【2022高中数学一轮复习】专题4.17—导数大题（任意、存在性问题）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.17—导数大题（任意、存在性问题） 1．已知函数，函数在点，（1）处的切线方程为． （1）求函数的极值； （2）对于任意，，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）函数的定义域为，则有， 函数在点，（1）处的切线方程为， 根据函数导数的几何意义可得，， 解这个方程组得，，； ，， 令，可得，或， 则有，或；； 即得函数在和上单调递增，在，上单调递减； 由此可得，函数在处取得极大值为：； 在处取得极小值为：（1）． （2）由变形得， 此时令， ，，，且， 由上可得，函数在，上单调递增； 当，时，恒有 此时令，则有 根据二次函数的性质可知，当，时，（1） 即得函数在，上单调递减，故有（1） 故可得，，即，． 2．已知曲线与轴交于点，曲线在点处的切线方程为，且（1）． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）设，若存在实数，，，，使成立，求实数的取值范围． 解：（1）曲线与轴交于点，， 曲线在点处的切线斜率，可得切线方程为， （1），，解得． ，即． （2）函数， ， 时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增． 是函数的极大值点，． （3）设，，，则，，． ， ． 若存在实数，，，，使成立， 等价于：成立，，． 即，，． 令，，，则，． ，，，，（1）． ， ①时，，可得：函数在，上单调递减，（1），可得：，又， 解得：． ②时，，可得：函数在，上单调递增，（1），可得：，又， 解得：． ③时，函数在，上单调递减，在，上单调递增． 可得：（a）； 由（2）可知：（a）则上单调递减， ． ，（1），． 而． 不等式无解． 综上可得：的取值范围是，，． 3．已知函数． （1）若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围； （2）当时，求证：对任意的，，，且，有恒成立． 解：（1）函数的定义域为，， 若函数在其定义域上为增函数，则在上恒成立， 即，得， 设，则， 当时，，当时，， 所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 故，所以，即的取值范围是，． （2）证明：由（1）得， 对任意的，，，且，令， 则 ， 令， 当时，， 由此可得在上单调递增， 所以当时，（1），即， 因为， 所以， 设， 则， 所以函数在上单调递增，故（1）， 综上，当时，对任意的，，，且， 有恒成立． 4．已知函数，，． （Ⅰ）若对任意，都有，求的范围； （Ⅱ）求证：对任意及任意，都有． 解：（Ⅰ）对任意，都有， 即，都有，则只需， 令，则， 故在单调递减，则， 故，所以的取值范围为，； （Ⅱ）证明：时，关于单调递减， 关于单调递增，关于单调递增， 故关于单调递减，而，故， 由（Ⅰ）可知， 故 ， 故对任意及任意，都有． 5．已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）已知函数，若，，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 解：（Ⅰ），定义域是， （1），，（1）， 故切线方程为，即； （Ⅱ）由（Ⅰ）， 令，解得，令，解得， 故在递增，在递减； （Ⅲ）由（Ⅱ）得的极大值是（e）， 即的最大值是（e）， ，， 令，解得或， 若，，，不等式恒成立， 则，时，恒成立， ①当即时，在，上单调递增， 此时（1），令，得； ②当时，即时，在，递减，在，递增， 此时， 令，解得，不符合题意； ③当即时，在，递减， 故（e）， 令，解得，（舍 综上，实数的取值范围是，． 6．已知函数，． （1）若函数在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论在上的单调性； （3），总有成立，求正整数的最大值． 解；（1）函数， ，故（1）， 函数在处的切线与直线垂直， ，解得； （2）函数， ， ①当时，恒成立，函数在上单调递增； ②当时，由，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （3）由得，， 整理得，， 由题意得，不等式对任意恒成立， △，整理得，， ，且当时，， ，， 令，，则且在上单调递增， ，（1）， 存在，，使得， 当，时，函数单调递减， 当，时，函数单调递增， ， ，，， ， ，， 又为正整数，，正整数的最大值为2．