【2022高中数学一轮复习】专题3.8—抽象函数-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题3.8—抽象函数 一．单选题 1．函数是上的增函数，点，是其图象上的两点，则的解集为　　 A．， B．， C． D． 2．已知的图象关于坐标原点对称，且对任意的，恒成立，当时，，则　　 A． B． C． D．1 3．已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为　　 A．3 B．1 C．0 D． 4．已知定义在，，上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 5．单调增函数对任意，满足，若恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为　　 A． B． C． D．， 7．定义在上的奇函数满足，当，，，则　　 A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中的解集为　　 A． B．或 C． D．或 二．多选题 9．已知函数的定义域为，且在上可导，其导函数记为．下列命题正确的有　　 A．若函数是奇函数，则是偶函数 B．若函数是偶函数，则是奇函数 C．若函数是周期函数，则也是周期函数 D．若函数是周期函数，则也是周期函数 10．已知函数满足，有，且，当，时，，则下列说法正确的是　　 A． B．时，单调递增 C．关于点对称 D．时，方程的所有根的和为30 11．已知是定义在上的偶函数，，且当，时，，则下列说法正确的是　　 A．是以4为周期的周期函数 B． C．函数的图象与函数的图象有且仅有3个交点 D．当，时， 12．已知偶函数满足：，且当时，，则下列说法正确的是　　 A．时， B．点是图象的一个对称中心 C．在区间，上有10个零点 D．对任意，，都有 三．填空题 13．写出一个满足的奇函数　　． 14．已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当，时，，则　　． 15．已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当，时，，计算（1）（2）（3）　　． 16．定义在上的奇函数满足，当，时，，则当时，不等式的解为　　． 四．解答题 17．已知定义在上的函数，满足： ①； ②任意的，，． （1）求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性． 18．已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数； ③，；④任意的，，． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在上的单调性． 19．定义在上的函数对任意的，，都有（a）（b），且当时，． （1）若，证明：是奇函数． （2）若（1），解不等式． 20．已知函数满足对，，都有，且（1）． （1）求与的值； （2）写出一个符合题设条件的函数的解析式（不需说明理由），并利用该解析式解关于的不等式． 专题3.8—抽象函数 答案 1．解：根据题意，， 若，是函数图象上的两点，则有，（3） 故等价于不等式（3）， 又由函数是上的增函数，则（3）等价于 解得，不等式的解集为； 故选：． 2．解：根据题意，的图象关于坐标原点对称，即是奇函数，则有， 又由对任意的，恒成立，即恒成立， 则有对任意的都成立， 故是周期为4的周期函数，则（1）， 当时，，则， 故（1）， 故选：． 3．解：根据题意，函数在定义域上单调，且时均有， 则为常数，设，则， 则有，解可得， 则， 故； 故选：． 4．解：根据题意，设， 的定义域为，有，则为奇函数， 若，则，则有（1）； 又由函数在上单调递增，函数在区间上单调递减， 则函数在上单调递增， 又由为增函数，则在区间上单调递增， 综合可得：的大致图象和的图象， ，必有或， 即不等式的解集为，，； 故选：． 5．解：令，代入，，得，即． 令，代入，，得， 又，则有． 即对任意成立，所以是奇函数， 即在上是单调增函数，又知是奇函数． ， ， 对任意成立． 令，问题等价于对任意恒成立． 令，其对称轴为， 当，即时，，符合题意； 当，即时，则△，， 综上，． 故选：． 6．解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，则， 当时，，在区间上为增函数，且， 又由为奇函数，则在区间上为增函数，且， 综合可得：在上为增函数， 则，解可得，即不等式的解集为， 故选：． 7．解：根据题意，定义在上的奇函数满足， 则， 变形可得，即的周期为4， 故， 而， 则， 故选：． 8．解：任取，则， 所以，则， 所以在上为减函数， 又等价为， 即， 所以，即， 即，又， 所以，所以不等式的解集为． 故选：． 9．解：根据题意，依次分析选项： 对于，若为奇函数，则其图象关于原点对称，表示图象增减变化情况，应关于轴对称，所以是偶函数，正确； 对于，若，不是奇函数，但，是偶函数，错误； 对于，若函数是周期函数，即，则，则也是周期函数，正确； 对于，若，不是周期函数，则，是周期函数，错误； 故选：． 10．解：由知，，所以的图像关于对称， 由可知，4为的一