【2022高中数学一轮复习】专题4.11—导数大题（双变量与极值点偏移问题3）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.11—导数大题（双变量与极值点偏移问题3） 1．已知函数，． （1）设，求的极值： （2）若函数有两个极值点，．求的最小值． 解：（1），定义域是， ， 令，解得：或，令，解得：， 故在递增，在，递减，在递增， 故，（1）； （2）函数，，， ，是函数的极值点，，是方程的两不等正根， 则△，，，故，， 即，，，且，， ， 令，则，，， ， 当，上递减，当上递增， 故（1）， 故的最小值为． 2．已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，求证：． 解：（1）当时，，导数为， 可得切线的斜率为，且， 所以切线的方程为， 即为； （2）证明：由题意可得， 若，则，所以在递增， 因此不存在，使得，所以； 设，，则， 令，， 所以在递减，又，所以在恒成立， 从而在递减，从而．① 又由，可得， 所以．② 由①②可得． 又因为，所以， 因此要证， 只需证明， 即证，③ 设，，则， 所以在上为增函数， 又因为，所以（1），即③式成立． 所以获证． 3．已知函数． （1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，，求证：． 解：（1）当时，，则， 所以（1），又（1）， 所以切线方程为，即． （2）证明：由题意得，则， 因为函数有两个极值点，， 所以有两个不相等的实数根，， 令，则， ①当时，恒成立，则函数为上的增函数， 故在上至多有一个零点，不符合题意； ②当时，令，得， 当，时，，故函数在，上单调递减； 当，时，，故函数在，上单调递增， 因为函数有两个不相等的实数根，， 所以，得， 不妨设，则，， 又，所以，， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 由，可得，即， 又，是函数的两个零点，即， 所以， 因为，所以， 又，函数在，上单调递减， 所以，即， 又，所以，因此． 4．已知函数． （1）函数的图象能否与轴相切？若能与轴相切，求实数的值；否则请说明理由； （2）若函数恰好有两个零点，，求证：． 解：（1）函数的导数为， 由（1），若与轴相切，切点为，（1），必有（1）， 解得，当时，，递减；当时，，递增， 所以函数的图象能与轴相切，此时 （2）证明：设，所以，由，可得， 解得， 所以， 要证，即证，即为，， 令，，， 所以在递增，可得（1）， 则． 5．已知函数，其中为常数． （1）当时，求的极值； （2）当时，求证：对，且，，不等式恒成立． （1）解：当时，，，当时，，即在上单调减；当时，，即在上单调增．（3分） 的极小值为（1），无极大值．（5分） （2）证明：根据题意，要证明对，，且， 等价于证明． 设， 由单调性的定义得要证明原不等式等价于证明在上单调递减．（6分） 即证在上恒成立， 即证，，， 只需证明等价于证明．（8分） 设，令，则，， 只需证当时，．（10分） 因为，所以单调递减， 所以（1），故原不等式成立．（12分） 6．设函数，其中为常数，且． （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）设函数，，是函数的两个极值点，证明：． 解：（Ⅰ）函数的定义域为， ， 令， △， ①当时，，，在上单调递增， ②当时，由解得，， 所以， 所以当时，，，单调递增， 当，时，，，单调递减， 当，时，，，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 在，上单调递减， 在，上单调递增， 当时，在上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知函数的两个极值点为，，则， 所以，， 所以 ， 记（a）， （a）， 因为， 所以，， 所以（a），（a）在上单调递增， 所以（a）， 即， 所以．