2026高一数学同步5.3 第2课时 诱导公式五、六（导学案）（原卷版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.3第2课时诱导公式五、六导学案

1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特

2.能够准确记忆公式五和公式六.

3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明.

教学重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；

教学难点：1.诱导公式五、六的推导过程及公式的灵活应用；2.解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．

温故知新

知识点诱导公式五、六

情景导入1：“旋转的风车”

教师展示：风车叶片旋转90°的视频，提问：

“如果叶片初始角度为α，旋转90°后，它的水平投影和垂直投影如何变化？这与三角函数值有何关系？”

情景导入2：“钟表的指针”

教师提问：

“3点时，时针与分针成90°角。若时针从12点位置偏移α度，如何快速计算此时两针夹角的正弦值？”

下面在探究１的基础上继续探究

探究2

作关于直线的对称点，则以为终边的角为与角有什么关系？角与角的三角函数值之间有什么关系？

如图5.3-5，以为终边的角都是与角终边相同的角，即，因此只要探究角与的三角函数值之间的关系即可，

设，由于是点关于直线的对称点，

可以证明．①

根据三角函数的定义，得

，．

你能利用平面几何的知识，就图５.

你能利用平面几何的知识，就图５.３-５所示的情况证明①式吗？其他情况呢？

探究点1：公式五的推导

公式5

探究3

作关于关于轴的对称点，又能得到什么结论？

类似地，可得角

角的终边与角的终边具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？

探究点2：公式六的推导

公式六

利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．公式一～公式六都叫做诱导公式（inductionformula）．

探究点3：综合应用

例3证明：

（1）；

（2）．

【变式】证明：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

例4化简

【变式】已知.

（1）化简；

（2）若，求的值.

例5已知，且，求的值．

分析：注意到，如果设，那么，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题

【变式】已知，求的值．

??

1.（24-25高一下·江西南昌·期末）（???）

A． B． C． D．

2.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（????）

A． B． C． D．

3.（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（???）

A． B． C． D．

4.（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）若是角终边上一点，则（?????）

A． B． C．2 D．

5.（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知，且满足，则（????）

A． B． C． D．

6.（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（????）

A． B． C． D．

7.（25-26高二上·北京·开学考试）化简（????）

A． B． C．-1 D．1

8.（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，则（???）

A． B．

C． D．

9.（2025高一·全国·专题练习）已知，则等于（????）．

A． B． C．或 D．

10.（24-25高一下·广西柳州·开学考试）化简（????）

A． B． C． D．

1.（2025·山东烟台·一模）已知，则（???）

A． B． C．-2 D．2

2.（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（???）

A．-2 B． C． D．2

3.（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则的值为（）

A． B． C． D．

4.（24-25高一下·四川德阳·期末）黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为，则等于（???）

A． B． C． D．

1.知识清单：

(1)诱导公式五、六．

（2）利用诱导公式进行化简、求值与证明.

(3)利用诱导公式进行化简、求值与证明．

2.方法归纳：奇变偶不变，符号看象限.

3.常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造.

课本194页习题5.3.