2026高一数学同步5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象（导学案）（解析版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

PAGE

PAGE1

好好学习

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象导学案

1.了解利用单位圆画正弦曲线的方法.

2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线、余弦曲线.

3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．

教学重点：1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，2.会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象．

教学难点：1.利用单位圆画正弦曲线.2.正弦曲线与余弦曲线的应用．3.正弦函数与余弦函数图象间的关系,图象变换.

温故知新

知识点一正弦函数的图象

1．正弦曲线

正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做eq\o(□,\s\up1(01))正弦曲线．

2．正弦函数图象的画法

(1)几何法

①利用eq\o(□,\s\up1(02))单位圆画出y＝sinx，x∈[0，2π]的图象；

②将图象不断eq\o(□,\s\up1(03))向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．

(2)“五点法”

①画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点eq\o(□,\s\up1(04))(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；

②将所得图象不断eq\o(□,\s\up1(05))向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．

知识点二余弦函数的图象

(1)余弦曲线

余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做eq\o(□,\s\up1(01))余弦曲线．

(2)余弦函数图象的画法

①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(π,2)个单位长度即可，这是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).

②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为eq\o(□,\s\up1(03))(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断eq\o(□,\s\up1(04))向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．

[点拨](1)正弦函数、余弦函数的图象向左、向右是无限伸展的．

(2)正弦曲线、余弦曲线两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．

课堂导入1

教师打开音乐软件，播放一段纯音440Hz声波动画，提问：“声音看不见，怎么画出它的‘形状’？”引出正弦曲线。

【设计意图】用“声波”这一生活化的周期现象，激活旧知“圆周运动→上下振动”，直接指向本节课主题。

导入2：展示摩天轮座舱高度随时间变化的视频，并给出高度-时间散点图。

提问：

座舱高度变化有什么规律？

如果把这些散点连起来，会得到什么曲线？

【设计意图】学生人人都有“摩天轮”体验，情境真实，问题聚焦“周期+波浪”，迅速点燃探究欲。

【教学建议】导入时间≤3min，教师不急于给出答案，只抛问题，留待“新知探究”环节解决。

问题引入

同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数．

一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识

问题1结合所学，研究函数的一般步骤是什么？

提示先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质．

下面先研究函数，的图象，从画函数，的图象开始．

思考：

问题2在上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值，并画出点?

【师生互动】教师提出问题,学生思考.

提示如图，在[0,2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sinx0，此时弧AB的长度为x0，结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sinx0)．

如图5.4-1，在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点．

若把轴上从到这一段分等份，使值分别为，，，