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13.2画轴对称图形培优
一、单选题
1．已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设点关于、对称点分别为、，当点、在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数．
【详解】
分别作点关于、的对称点、，连接、、，交、于点、，连接、，此时周长的最小值等于．
由轴对称性质可得，，，，
，
，
又，，
．
故选：．
【点睛】
此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.
2．如图，直线与两坐标轴分别交于两点，，D、E分别是直线轴上的动点，则周长的最小值是（）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG，根据轴对称的性质得到周长的最小值就是FG的长，求出点F和点G坐标算出FG的长．
【详解】
解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG，
∵直线与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴，，
∵，
∴，
∵AO=BO，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵C、G关于OA对称，
∴，
由对称的性质，DF=DC，EC=EG，
∴，此时周长最小，
在中，，
故选：A．
【点睛】
本题考查轴对称最短路线问题，解题的关键是利用对称性找到周长最小时点D和点E的位置，再结合平面直角坐标系中点坐标对称的关系进行求解．
3．如图所示，在四边ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，若在BC和CD上分别找一点M，使得△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为（）
A．110° B．120° C．140° D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【详解】
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用，根据轴对称的性质，得出M，N的位置是解题的关键．
4．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【分析】
作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质求解．
【详解】
作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，∠MPN=110°
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，
同理可得：∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N=∠OP1M，
∴∠P1OP2=180°-110°=70°，
∴∠AOB=35°，
故选A．
【点睛】
考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P1OP2是等腰三角形是．
5．如图，正方形的面积为9.是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为().
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题解析：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，BO=DO．AC⊥BD，
∴B、D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE．
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE．
∵正方形ABCD的面积为9，
∴AB=3，
∴BE=3．
∴PD+PE的和最小值为3．
故选A．
6．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣）和B（3，﹣）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C
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