(人教B版)2025秋高中数学选择性必修二同步讲义第4章第03讲二项分布与超几何分布(学生版+解析).docxVIP

第03讲二项分布与超几何分布

课程标准

学习目标

1.理解n次独立重复试验的模型及其意义．

2.会求n次独立重复试验及二项分布的概率．

3.掌握超几何分布的特点,并能简单的应用．

1.理解n次伯努利试验.

2.理解二项分布，能利用二项分布解决一些简单的实际问题．

3.理解超几何分布的概念，理解超几何分布与二项分布的关系.

4.会用超几何分布解决一些简单的实际问题．

知识点01n次独立重复试验

1．n次独立重复试验

在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．

2．n次独立重复试验中事件A发生k次的概率

一般地，事件A在n次独立重复试验中发生k次，共有Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))种情形，由试验的独立性知“A在k次试验中发生，而在其余(n－k)次试验中不发生”的概率都是pk(1－p)n－k，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pk(k)Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))pk(1－p)n－k(k0，1，2，…，n).

【解读】(1)上述公式必须在满足“独立重复试验”时才能运用；

(2)使用公式时一定要明确该公式中各量表示的意义：n为独立重复试验的次数；p是在1次试验中事件A发生的概率；1－p是在1次试验中事件A不发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数；

(3)独立重复试验是相互独立事件的特例．一般地，有“恰好发生k次”“恰有k次发生”字样的问题，求概率时，用n次独立重复试验概率公式计算更简便．

【即学即练1】任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()

A．eq\f(3,4)B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)

知识点02二项分布

定义：一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…k，…n}，而且P(Xk)Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))pk(1－p)n－k，k0，1，2，…，n.

因此X的分布列如下表所示．

X

0

1

…

k

…

n

P

Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))p0qn

Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))p1qn－1

…

Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))pkqn－k

…

Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))pnq0

注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二次展开式

(q＋p)nCeq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))p0qn＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))p1qn－1＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))pkqn－k＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))pnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．

【解读】

(1)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n1的二项分布；

(2)判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件：

①对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一．

②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p.

③X的取值从0到n，中间不间断．

由上可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布．

【即学即练2】下列随机变量X不服从二项分布的是()

A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数

B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数

C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数

D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数

知识点03超几何分布

1．定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(MN)，从所有物品中任取n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即tn－(N－M))，而且P(Xk)