(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章第01讲数列的概念(学生版+解析).docxVIP

第01讲数列的概念

课程标准

学习目标

1．理解数列的概念．

2．掌握数列的通项公式及应用．

3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．

1．通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特征。

2．根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并理解通项公式的含义。

3．知道数列的分类：有穷数列和无穷数列等。

4．掌握数列的表示方法。

5．通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规律。

知识点01数列的概念及一般形式

数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。

数列的一般形式可以写成，，，……，，……，其中表示数列的第项（也称为的序号，其中为正整数，即），称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为.

【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：

①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；

②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；

③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；

④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．

【即学即练1】下列结论中错误的是（）

A．数列的项数是无限的

B．数列中各项与顺序无关

C．数列1，3，5，7可表示为

D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列

知识点02数列的分类及表示

1、数列的分类

分类标准

类型

满足条件

项数

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

项与项间的大小关系

递增数列

其中n∈N+

递减数列

常数列

摆动数列

从第二项起，有些项小于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

2、数列的表示：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．

【即学即练2】下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）

A．1，，，，…B．，，，

C．，，，，…D．1，，，…，

知识点03数列的通项公式

一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．

【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．

②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．

③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．

【即学即练3】下列结论中，错误的是（???）

A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数

B．数列的项数一定是无限的

C．数列的通项公式的形式是唯一的

D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式

知识点04数列与函数

从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：

定义域

正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})

解析式

数列的通项公式

值域

由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成

表示方法

(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法

【即学即练4】（多选）下列结论中错误的是（）

A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数

B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点

C．数列的项数是无限的

D．数列是递增数列

题型01数列的概念与辨析

【典例1】（2024高二·全国·专题练习）下列说法错误的是（????）

A．数列4，7，3，4的首项是4

B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3

C．数列3，6，8可以表示为

D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列

【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述错误的是（????）

A．此数列不能用图象表示

B．此数列的图象仅在第一象限

C．此数列的图象为直线

D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点

【变式2】（2024高三·全国·专题练习）将正整数的前5个数排列如下：

①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2．

其中可以称为数列的有（????）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

【变式3】（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，错误的是（????）

A．数列可表示为集合

B．数列与数列是相同的数列

C．数列的第项为

D．数列可记为

【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法中，不错误的是（???）

A．数列可表示为