(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章第06讲等比数列的前n项和(学生版+解析).docxVIP

第06讲等比数列的前n项和

课程标准

学习目标

1.探索并掌握等比数列的前项和公式；

2.掌握等比数列前项和的性质的应用；

3.能运用等比数列的前项和公式解决一些简单的实际问题。

1.在推导等比数列前项和公式的过程中达成逻辑推理、数学抽象的核心素养；

2.在运用等比数列前项和公式的过程中提升数学建模、逻辑推理和数学运算核心素养；

3.等比数列前项和的性质。

知识点01等比数列的前n项和公式

1、等比数列的前n项和公式

若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为

=.

【解读】

①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法．

②在求等比数列前项和时，要注意区分和．

③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．

【即学即练1】（24-25高二上·全国·随堂练习）等比数列的首项，公比，则等于（????）

A． B．31 C． D．63

知识点02等比数列前n项和的函数特征

1．与的关系

(1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点.

(2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常

数的和.当q0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点.

2．Sn与an的关系

当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数.

【即学即练2】（23-24高二下·北京怀柔·期末）若是公比为的等比数列，其前项和为，，则“”是“单调递增”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

知识点03等比数列前项和的性质

1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．

2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．

3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列．

【即学即练3】（24-25高三上·安徽·期中）记为正项等比数列的前项和，若，，则（????）

A．6 B．9 C．12 D．15

题型01等比数列前项和的有关计算

【典例1】（24-25高二上·福建龙岩·月考）在等比数列中，已知，，，则n的值为（????）

A．4 B．5 C．6 D．7

【变式1】（23-24高二上·云南昆明·月考）（多选）等比数列的前n项和为，若，则（????）

A． B． C．1 D．2

【变式2】（23-24高二下·四川南充·月考）（多选）已知等比数列的前n项和为，，，则下列结论错误的是（????）

A． B． C． D．

【变式3】（24-25高二上·安徽阜阳·月考）在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为（????）

A．2 B．17 C．2或8 D．2或17

【变式4】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）记为等比数列的前项和，若，则.

题型02等比数列片段和的性质

【典例2】（2024高二上·宁夏银川·阶段练习）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则S9等于（????）

A． B．- C． D．

【变式1】（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（????）

A． B． C． D．3

【变式2】（23-24高二上·福建龙岩·月考）在等比数列中，前n项和为，，，则+（????）

A．22 B．210 C．640 D．2590

【变式3】（23-24高二上·江苏南京·月考）已知等比数列的前项和满足，满足，，则.

题型03等比数列前n项和公式的特征及应用

【典例3】（2024高二下·青海海东·阶段练习）在等比数列中，前项和，则实数的值为．

【变式1】（2024·高二·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（????）

A． B． C．0 D．2

【变式2】（23-24高二上·河南新乡·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（????）

A． B． C． D．

【变式3】（23-24高二上·江苏常州·月考）数列的前n项和，数列的前n项和为，则=（????）

A．192 B．170 C．180 D．182

【变式4】（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（????）

A． B． C． D．

题型04等比数列奇偶项的和

【典例4】（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为偶数，其偶数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝.

【变式1】（24-25高二上·上海·月考）等比数列共有2n项，其和为240