(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章第03讲等差数列(学生版+解析).docxVIP

第03讲等差数列

课程标准

学习目标

理解等差数列的概念.

掌握等差数列的通项公式及其应用；

理解等差中项的概念，了解等差数列的有关性质．

1.通过对等差数列概念、通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养；

2.通过等差数列中项、性质的学习培养逻辑推理、数学运算的素养；

3.通过等差数列解决实际问题，达成数学建模的核心素养。

知识点01等差数列的定义

一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．

【解读】(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．

(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．

(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．

【即学即练1】下列数列是等差数列的是()

A．eq\f(1,3)，eq\f(1,5)，eq\f(1,7)，eq\f(1,9) B．1，eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(7)

C．1，－1，1，－1 D．0，0，0，0

知识点02等差数列的通项公式

1．通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．

【解读】(1)要确定等差数列的通项公式，只需确定首项和公差；

(2)在通项公式an＝a1＋(n－1)d中有四个量：an，a1，n，d，只要知道任意三个就可求出第四个．

2．从函数角度认识等差数列{an}

若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).

(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；

(2)这些点的横坐标每增减1，函数值增减d．

3．等差数列与一次函数的区别与联系

—

等差数列

一次函数

通项公式(解析式)

an＝kn＋b(n∈N*)

f(x)＝kx＋b(k≠0)

不同点

定义域为N*或N*的子集{1，2，3，…，n}，图象是一系列孤立的点(在直线上)

定义域为R，图象是一条直线

相同点

等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次整式

4.等差数列的单调性

等差数列{an}的公差为d，

(1)当d0时，数列{an}为递增数列；

(2)当d0时，数列{an}为递减数列；

(3)当d＝0时，数列{an}为常数列．

【解读】（1）等差数列是定义域为N*或N*的子集{1，2，3，4，…，n}的一次函数的函数值．

（2））等差数列的通项公式不一定都是关于n的一次函数，常数列a，a，a，…，a的通项公式an＝a为常函数．

5．等差数列通项公式的变形及推广

已知等差数列{an}中的任意两项an，am(n，m∈N*，m≠n)，则

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＝a1＋(n－1)d,am＝a1＋(m－1)d))?an－am＝(n－m)d，

所以①an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，

②d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n).

【即学即练2】已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝()

A．4－2n B．2n－4

C．6－2n D．2n－6

知识点03等差中项

(1)如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项．

(2)在一个等差数列中，中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项．

【即学即练3】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）和8的等差中项是．

知识点04等差数列的性质

一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.

(1)特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq.

(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….

(3)若{an}是公差为d的等差数列，则

①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；

②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；

③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．

若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．

【即学即练4】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，则等于（???）

A．1 B．2 C．4 D．8

题型01等差数列的通项及计算

【典例1】（24-25高二上·黑