(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章第04讲等差数列的前n项和(学生版+解析).docxVIP

第04讲等差数列的前n项和

课程标准

学习目标

1.探索并掌握等差数列前n项和公式；

2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，会求等差数列前n项的最值。

1.经历等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养；

2.通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养；

3.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养.

知识点01等差数列的前n项和

1、等差数列的前n项和公式

已知量

首项，末项与项数

首项，公差与项数

选用公式

2、等差数列前n项和公式的推导

对于公差为d的等差数列，

①

②

由①＋②得

n个＝，

由此得等差数列前n项和公式，

代入通项公式得.

【即学即练1】（24-25高三上·江苏南京·期中）在等差数列中，，则.

知识点02等差数列的前n项和性质

1、片段和性质：设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，

，，…组成公差为的等差数列；

2、前n项和与n的比值：

数列是等差数列?(a，b为常数)?数列为等差数列，公差为；

3、奇偶项和性质：若S奇表示偶数项的和，表示偶数项的和，公差为d；

①当项数为偶数时，，，；

②当项数为偶数时，，，.

4、两等差数列前n项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则

【即学即练2】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等差数列的前项和为，且，则（????）

A．16 B．18 C．24 D．26

知识点03等差数列前n项和的最值

1、等差数列的前n项和与二次函数的关系

将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得.

当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点．

2、求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略

（1）将配方，若，则从二次函数的角度看：

当时，Sn有最小值；

当时，有最小值．

当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值．

（2）邻项变号法：

当，时，满足的项数n使取最小值；

当，时，满足的项数n使取最小值。

【即学即练3】（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知等差数列的前项和，若，则；前项和的最小值为．

题型01求等差数列的前n项和

【典例1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）设等差数列的前n项和为，已知，．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【变式1】（2024高三·全国·专题练习）记为等差数列的前项和.若，则（????）

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）若数列是等差数列，其前项和为，，则.

【变式3】（24-25高三上·上海·阶段练习）数列中，，，则

题型02与等差数列前n项公式有关的基本量计算

【典例2】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（????）

A． B． C．1 D．2

【变式1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）在等差数列中，已知，，则等于（???）

A．11 B．13 C．15 D．16

【变式2】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（????）

A．36 B．35 C．42 D．38

【变式3】（23-24高二下·海南海口·期中）数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则不错误的是（????）

A． B． C． D．

【变式4】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）在等差数列中，若，则=.

题型03等差数列的片段和性质

【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为70，则它的前2m项的和为（????）

A．30 B．70 C．50 D．90

【变式1】（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（????）

A．144 B．120 C．108 D．96

【变式2】（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（???）

A．7 B．8 C．9 D．12

【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（????）

A．16 B．12 C．10 D．8

【变式4】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（????）

A．7 B．8 C．9 D．10

题型04等差数列前n项和与n的比值

【典例4】（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（