(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第八章向量的数量积与三角恒等变换章末题型大总结(学生版+解析).docxVIP

第八章向量的数量积与三角恒等变换章末题型大总结

题型01求向量的数量积

解题锦囊

解题锦囊

求数列最小(小)项的方法

（1）定义法：根据向量的模与夹角计算求解；

（2）基向量法：将求数量积的向量用已知模或夹角的向量线性表示，再根据数量积的运算律求解；

（3）坐标法：根据图像特点，建立直角坐标系，结合数量积的坐标运算求解.

【典例1】（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长是4，是的中点，满足，则（????）

A．10 B．20 C．22 D．25

【变式1】（24-25高三上·河南·阶段练习）如图，在中，已知为中点，则（????）

A． B． C． D．7

【变式2】（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）如图所示，两个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，则.

【变式3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）正方形的边长为为边的中点，为边上一点，且，则.

【变式4】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（????）

A． B． C． D．1

题型02求向量的投影向量

解题锦囊

解题锦囊

已知非零平面向量，向量是与同向的单位向量，则向量在上的投影向量：

【典例2】（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（????）

A． B．

C． D．

【变式2】（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（???）

A． B． C．2 D．4

【变式3】（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（???）

A．2 B．0 C． D．

【变式4】（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（???）

A． B． C． D．

【变式5】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

题型03向量的夹角问题

解题锦囊

解题锦囊

（1）向量的夹角：利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.

（2）两个向量a，b的夹角为锐角?a·b0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角?a·b0且a，b不共线；

【典例3】（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，，满足，，则（???）

A．30° B．90° C．120° D．150°

【变式1】（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）设向量，，则与夹角的余弦值为（）

A．0 B． C． D．1

【变式2】（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（???）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【变式3】（2025·湖南邵阳·一模）已知向量，，与的夹角为，则（???）

A． B． C． D．

【变式4】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则．

题型04向量模的计算

解题锦囊

解题锦囊

向量的模的求解方法：

①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；

②坐标法：求出平面向量的坐标求解.

【典例4】（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（????）

A．1 B．2 C． D．4

【变式1】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知，，，则等于（????）.

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高三上·江苏·期末）已知向量，，若，则（????）

A．3 B． C．4 D．0

【变式3】（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）两个单位向量、满足，则.

【变式4】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，则．

【变式5】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知的夹角为，是的中点，则．

题型05平行与垂直问题

【典例5】（2025高一·全国·专题练习）已知向量，，则下列关系错误的是（????）

A． B．

C． D．

【变式1】（24-25高一下·山东威海·月考）已知非零向量满足，则（???）

A． B．

C． D．

【变式2】（2024·广西·模拟预测）已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（???）.

A． B． C． D．2

【变