(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章第02讲数列中的递推(学生版+解析).docxVIP

第02讲数列中的递推

课程标准

学习目标

1．理解递推公式的含义．

2．掌握递推公式的应用．

3．会利用an与Sn的关系求通项公式．

1．通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养．

2．借助递推公式的应用学习，提升数据分析的素养.

知识点01数列的递推关系

1.数列的递推公式

如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).

2.通项公式与递推公式的区别与联系

类别

区别

联系

通项公式

an是序号n的函数式an=f(n)

都是给出数列的方法，都可求出数列中任意一项

递推公式

已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式

【即学即练1】

（1）设数列满足，且，则（）

A． B． C． D．

（2）数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…的递推公式可以是()

A．an＝eq\f(1,2n) B．an＝eq\f(1,2n)

C．an＋1＝eq\f(1,2)an D．an＋1＝2an

知识点02数列的前n项和

1、数列的前n项和的定义

一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和．

an与Sn的关系

一般地，如果数列的前项和为，那么当，由，

，所以，因此

【即学即练2】已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a2＝________.

题型01由递推关系求数列的项

【典例1】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列满足，则（????）

A．23 B． C．3 D．2

【变式1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）数列满足，若，则．

【变式2】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列的首项为，递推公式为（），

【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知数列为，若关于n的图象是一条抛物线上的孤立的点，且，，，则．

【变式4】（23-24高二下·广东广州·期末）已知数列满足，则.

题型02求数列的递推关系

【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的第n项与第项的关系是（???）

A． B． C． D．

【变式1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（????）

A． B．

C． D．

【变式2】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若正整数集的非空子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值小于1，则称为数集的超子集．对于集合，记的超子集的个数为，则，与的关系为．

【变式3】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若正整数集的非空子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值小于1，则称为数集的超子集．对于集合，记的超子集的个数为，则，与的关系为．

题型03数列的周期性及应用

【典例3】（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（????）

A．2015 B．2016 C．1518 D．1519

【变式1】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列满足，，则（???）

A． B．2 C．3 D．

【变式2】（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（???）

A． B． C． D．

【变式3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的前项和，则等于（???）

A．12 B．15 C．18 D．21

题型04已知Sn求通项公式an

【典例4】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，，则.

【变式1】（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知为数列的前项和，，则（????）

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列的前项和，则（???）

A．11 B．12 C．13 D．14

【变式3】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列的前项和，则（???）

A．11 B．12 C．13 D．14

【变式4】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）设为数列的前项和，若，则数列的通项公式.

题型05累减法求数列的通项

【典例5】（24