(人教B版)2025秋高中数学必修一同步讲义2.2.3一元二次不等式的解法(4知识点+6题型+巩固训练)(学生版+解析).docxVIP

2.2.3一元二次不等式的解法

课程标准

学习目标

1、掌握用因式分解法解决一元二次不等式.

2、掌握用配方法解决一元二次不等式.

一元二次不等式的解法，由特殊到一般的配方法、因式分解法.

掌握一元二次不等式的的运算法则，探究运算思路，选择相对应的运算方法。

一般一元二次不等式有两个解，需要验证其有效性。

知识点01一元二次不等式的概念

一般地，形如ax2＋bx＋c0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“”“≥”“≤”等．

注：一元二次不等式的二次项系数a有a0和a0两种，注意a≠0.当a0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．

【即学即练1】下列不等式中是一元二次不等式的是()

A．a2x2＋2≥0B．1x

C．－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1＞0

知识点02一元二次不等式的解法

（1）用因式分解法解一元二次不等式

一般地，如果x1x2，则不等式(x－x1)(x－x2)0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).

①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”．

②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．

依据是：ab0当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,b0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,b0))；

ab0当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,b0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,b0.))

（2）用配方法解一元二次不等式

一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2k或(x－h)2k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到不等式的解集．

注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集．

(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．

【即学即练2】（2024·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式：

(1)；

(2)；

(3)．

【即学即练3】（2024·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式

知识点03二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

Δ＞0

Δ0

Δ＜0

yax2＋bx＋c(a＞0)的图像

ax2＋bx＋c0(a＞0)的根

有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)

有两个相等的实数根x1x2－

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集

{x|x＜x1或x＞x2}

{x|x≠－b2a

R

ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集

{x|x1＜x＜x2}

?

?

【即学即练4】【多选】（2024·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（????）

A．

B．不等式的解集是

C．

D．不等式的解集为

知识点04分式不等式

分式不等式的概念

分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．

注：当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．

【即学即练5】（2024·全国·高三对口高考）已知集合，则．

难点：含参数的一元二次不等式的解法

示例：解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.

【题型1：解不含参数的一元二次不等式】

例1．（2024·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式的解集为（????）

A．或B． C．D．或

变式1.（2024·全国·高一专题练习）不等式的解集为（）

A．B．

C．D．

变式2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式的解集为

A． B． C． D．

变式3．（2024·上海·高一专题练习）解下列不等式：

（1）；?????????

（2）；????????

（3）

变式4．（2024·高一校考课时练习）解下列不等式：

（1）

（2）

（3）

（4）

变式5.（2024·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集.

（1）；（2）；

（3）；（4）；

变式6.【多选】（2024·全国·高一专题练习）下列不等式的解集是空集的是（）

A．B．C．D．

变式7．【多选】（2024·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为的是（????）

A． B