(人教B版)2025秋高中数学必修一同步讲义2.2.1不等式及其性质(4知识点+4题型+巩固训练)(学生版+解析).docxVIP

2.2.1不等式及其性质

课程标准

学习目标

1、掌握不等式5个性质与5个推论.

2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式.

3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式.

掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法.

反证法是一种间接证明的方法，如推论5中用到的方法.

灵活选用不等式5个性质与5个推论。

知识点01不等式的定义

我们用数学符号“≠”“”“”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．

【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知a克糖水中含有b克糖（ab0），再添加m克糖（m0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式不成立.

知识点02实数大小比较

符号表示

a－b0?ab，

a－b0?ab，

a－b0?ab.

【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）设，则的大小关系为（）．

A．B．C．D．

知识点03不等式的性质

性质1(可加性)如果ab，那么a＋cb＋c.

性质2(可乘性)如果ab，c0，那么acbc.

性质3(可乘性)如果ab，c0，那么acbc.

性质4(传递性)如果ab，bc，那么ac.

注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然不成立？

(1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且bc，那么ac；如果ab且b≥c，那么ac.

(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b且b≥c，则a≥c，其中ac时必有ab且bc.

推论1(移项法则)如果a＋bc，那么ac－b.

不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．

推论2(同向可加性)如果ab，cd，那么a＋cb＋d.

我们把ab和cd(或ab和cd)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式．

推论3(同向同正可乘性)如果ab0，cd0，那么acbd.

推论4(可乘方性)如果ab0，那么anbn(n∈N，n1).

推论5(可开方性)如果ab0，那么eq\r(a)eq\r(b).

注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据．

(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由ab，cd，可以得到a＋cb＋d，但不能得到a－cb－d.需要特别注意的是，由ab，cd，不能得到a＋cb＋d，但可以得到a－cb－d.这是因为若cd，则－c－d，又ab，所以a－cb－d.

【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）如果那么下列说法正确的是（）

A．B．C．D．

【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围.

知识点04综合法、分析法与反证法

（1）综合法

从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．

（2）分析法

从待证结论出发，一步一步地寻求结论不成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明问题的方法通常称为分析法．

（3）反证法

首先假设结论的否定不成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法．

注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法．

(1)综合法中，最重要的推理形式为p?q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然不成立的结论．

(2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p?q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论不成立的充分条件．

【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知，求证：．

难点：用反证法证明命题

示例：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤，

①∠A＋∠B＋∠C90°＋90°＋∠C180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A∠B90°不不成立．

②所以一个三角形中不能有两个直角．

③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A∠B90°.

其正确顺序为________．

【题型1：比较大小】

（一）作差法

例1．（2024·青海西宁·高二统考期末）已知，，则a，b的大小关系是（???）

A． B．

C． D．无法确定

变式1．（2024·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知a为实数，，，则M，N的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

变式2.（2024·高一校考课时练习）已知，试比较与的值的大小．