(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章第05讲等比数列(学生版+解析).docxVIP

第05讲等比数列

课程标准

学习目标

1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念．

2.掌握等比数列通项公式的意义．

3.掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题．

1.能叙述等比数列和等比中项定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列；

2.探索并记忆等比数列的通项公式，能够应用它解决等比数列的问题；

3.在学习和运用等比数列的定义和通项公式的过程中，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养．

知识点01等比数列的概念

一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一常数q,_即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比．

【解读】

（1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项；

（2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列；

（3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列；

（4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比；

（5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。

【即学即练1】下列数列为等比数列的是()

A．2,22,3×22，… B．eq\f(1,a)，eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)，…

C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，…

知识点02等比数列的通项公式

一般地，如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，那么等比数列的通项公式为an＝a1qn－1.

【解读】

(1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．

(2)等比数列与指数函数的关系

等比数列的通项公式可整理为an＝eq\f(a1,q)·qn，而y＝eq\f(a1,q)·qx(q≠1)是一个不为0的常数eq\f(a1,q)与指数函数qx的除积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝eq\f(a1,q)·qx的图象上的孤立点．

【即学即练2】（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且，则.

知识点03等比数列的单调性

等比数列的首项为，公比为

a1

a10

a10

q的范围

0q1

q＝1

q1

0q1

q＝1

q1

数列{an}的增减性

递减数列

常数列

递增数列

递增数列

常数列

递减数列

【即学即练3】（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（???）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分也非必要

知识点04等比中项

如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项．

【解读】(1)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．

(2)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．所以“a，G，b成等比数列”与“G＝eq\r(ab)”是不等价的．

（3）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项.

【即学即练4】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）若是1与9的等比中项，则实数的值为（????）

A．3 B． C． D．9

知识点05等比数列的性质

（1）一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则asat＝apaq.特别地，如果2s＝p＋q，则aeq\o\al(2,s)＝apaq.

(2)若{an}是公比为q的等比数列，则：

①{can}(c为任一常数)是公比为q的等比数列；

②{|an|}是公比为|q|的等比数列；

③{aeq\o\al(m,n)}(m为常数，n∈N＋)是公比为qm的等比数列．

(3)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．

【即学即练5】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列是等比数列，若，则的值为（????）

A． B．

C． D．

题型01等比数列的通项公式及应用

【典例1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）在等比数列中，若，，则（????）

A．-32 B．-16 C．16 D．32

【变式1】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知数列是等比数列，满足，公比，则（????）

A．2 B．4 C．8 D．16

【变式2】（24-25高二上·江苏