(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章拓展提升01数列的求和及应用(学生版+解析).docxVIP

拓展提升01数列的求和

1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.

①等差数列的前n项和公式：

.

②等比数列的前n项和公式：

=.

2．倒序相减法

如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相减法求解.

3．分组求和法

（1）把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列的前n项和．

（2）若数列的通项公式为奇偶分段数列型或者绝对值分段数列型，可采用分组求和法求数列的前n项和，注意对n进行分类讨论

（3）一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.

4.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

常见的裂项公式：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）

5.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解．

错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式．

②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式.

题型01公式法

【典例1】（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（???）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知为等比数列{}的前项和，则（????）

A． B． C． D．

【变式2】（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（????）

A．5050 B．10010 C．10100 D．11000

【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，已知，则的前10项和为（）

A．2040 B．2046

C．4040 D．4046

【变式4】（24-25高二上·福建·期中）已知等差数列的前项和为，，则（???）

A．880 B．220 C．110 D．440

题型02倒序相减法

【典例2】（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（????）

A． B．1012 C． D．1013

【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（????）

A．96 B．97 C．98 D．99

【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（???）

A．2022 B．4036 C．2023 D．4038

【变式3】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且，

(1)计算的值；

(2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值.

题型03分组求和法

【典例3】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的前项和为且满足；等差数列满足，且成等比数列.

(1)求数列与的通项公式；

(2)记数列的前项和为，求.

【变式1】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且．

(1)求数列与的通项公式；

(2)设数列满足，求数列的前项和．

【变式3】（24-25高二上·湖南永州·期中）已知等差数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【典例4】（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前2n项和．

【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，且，则的值为（????）

A．300 B． C．210 D．

【变式2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，则数列的前2n项和.

【变式3】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，且．

(1)设，证明：是等比数列；

(2)求数列的通项公式；

(3)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．

型

【典例5】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）（多选）已知数列，记的前项和为，下列说法错误的是（????）

A． B．是等差数列

C． D．

【变式1】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知公差的等差数列满足，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求

【变式2】（24-25高二上·江苏·期中）已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2．