(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章拓展提升02求数列的通项公式(学生版+解析).docxVIP

拓展提升02求数列的通项公式

1.归纳法

由数列的前几项求数列的通项公式

①各项的符号特征，通过或来调节正负项．

②考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．

③相邻项(或其绝对值)的变化特征．

④拆项、添项后的特征．

⑤通过通分等方法变化后，观察是否有规律．

2.累减法

累减法适用于an＋1－an＝f(n)或an－an-1＝f(n)型，其解题恒等式为an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解

3.累除法

累除法适用于或型，通常利用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1，求出通项an.

4.已知Sn=f(n)求an

已知求通项，步骤可分为三步：（1）当时；（2）当时，；（3）检验能否合写，即和两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式．

5.已知Sn与an的关系求an

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；

（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.

6.用“待定系数法”构造等比数列

形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.

7.倒数法

形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.

题型01归纳法

【典例1】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（????）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（????）

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（????）

A． B．

C． D．

【变式3】（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（????）

A． B．

C． D．

【变式4】（23-24高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（????）

A． B． C． D．

题型02累减法

【典例2】（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知数列，满足，则；若数列的前项和为，且，则.

【变式1】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则．

【变式2】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是

【变式3】（24-25高二上·河南信阳·阶段练习）已知数列满足，且，，其前项和为，若对任意的正整数，恒成立，则的取值范围是.

【变式4】（24-25高二上·福建·期中）已知数列满足，，.记.

(1)证明：数列是等比数列.

(2)求的通项公式.

题型03累除法

【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，求数列的通项公式．

【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）（1）对于任意数列，等式：

都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足：，，求通项；

（2）若数列中各项均不为零，则有成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列满足：

，求通项.

【变式2】（23-24高二下·福建厦门·期末）设为正项等比数列的前项和，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)数列满足，，求的前项和.

题型04已知Sn=f(n)求an

【典例4】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（????）

A． B．

C． D．

【变式1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的前项和，则等于（???）

A．12 B．15 C．18 D．21

【变式2】（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（???）

A． B． C． D．

【变式3】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为.

【变式4】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设数列的前项和是，如果它的前项和，那么

【变式5】（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）在数列中，，且，则

题型05已知an与Sn的递推式求通项

【典例5】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）设为数列的前项和，若，则的值为（????）

A．8 B．4 C． D．

【变式1】（2024高二·全国·专题练习）数列的前项和为，若，，